- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．
正确答案
解析
∵AB为⊙D的切线，则∠B=90°，且AD平分∠BAC，
∴BD=DF，（3分）
∴AC为⊙D的切线．（4分）
（2）在△BDE和△FDC中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴△BDE≌△DCF，（6分）
∴EB=FC．（8分）
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．（10分）
（Ⅰ）直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）∠D+∠CEF=180°．
正确答案
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
解析
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
正确答案
解析
解：连接OA、OP；
∵同心圆大⊙O的弦AB切小⊙O于P，
∴∠OPA=90°，AP=
∴圆环的面积=πOA2-πOP2=（OA2-OP2）π=9π．
故选A．
（Ⅰ）试证明：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，
正确答案
证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且
∴
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴
∴
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，
∴
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）
解析
证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且
∴
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴
∴
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，
∴
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=______度．
正确答案
115
解析
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴∠BOC=180°-65°=115°．
故答案为：115°．
求证：CD为圆O的切线．
正确答案
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
解析
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
正确答案
3
解析
解：连接OD
∵CD切⊙O于点D，
∴ED2=EA•EB，
∵ED=2，AB=3，设EA=x，
∴4=x（x+3）
∴x=1，
在△EOD和△ECB中，
∴
∴BC=3
故答案为：3
正确答案
解析
解：连OD，如图，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，
∴∠DOA+OAE=180°；
而∠CAE=130°，
∴∠DOA=50°，
∴∠ADO=
∴∠DAE=65°．
故选A．
正确答案
6
解析
解：∵∠BAC=∠APB，
∠C=∠BAP，
∴△PAB∽△ACB，
∴
∴AB2=PB•BC=9×4=36，
∴AB=6，
故答案为：6．
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求
正确答案
解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O1A，O2A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴
解析
解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O1A，O2A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴
正确答案
70°
解析
解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BCD+∠A=180°．
∵∠BCD=110°，∴∠A=70°．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠A=70°．
故答案为：70°．
（1）求∠P的正弦值；
（2）若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．
正确答案
解析
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC
又∵AB=2PA
∴OC=AO=AP=
∴∠P=30°
∴sin∠P=
（2）连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COA=90°-30°=60°，
又∵OC=OA，
∴△CAO是正三角形．
∴CA=r=2，
∴CB=
设四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上并且与四边形的其余三边相切．证明：AD+BC=AB．
正确答案
设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，
因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①
用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，
得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，
①+②得AB=AD+BC．
解析
设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，
因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①
用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，
得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，
①+②得AB=AD+BC．
正确答案
解析
解：C为圆周上一点，AB是直径，
所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，
进而得∠B=60°，
所以∠DCA=60°，
又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，
∴
故答案为
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2
正确答案
解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，
∴∠BOC=120°，
∵BC=2
∴圆的半径为：
∴圆的面积为：π•22=4π．
故答案为：4π．
解析
解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，
∴∠BOC=120°，
∵BC=2
∴圆的半径为：
∴圆的面积为：π•22=4π．
故答案为：4π．
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