热门试卷

解：（1）连接，因为为⊙O的直径，

所以，

又，

所以切⊙O于点，且切于⊙O于点，

因此，

所以

得

因此

即E是BC的中点。

（2）连接，显然是Rt△ABE斜边上的高，可得，

于是有，即，

同理可得

所以。

（1）证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB，

∵OC是圆的半径，

∴AB是圆的切线．

（2）解：ED是直径，∴∠ECD=90°，

∴，

又，

∴，

又，

∴△BCD∽△BEC，∴，

，△BCD∽△BEC，，

设BD=x，则BC=2x，，

∴，∴BD=2，

∴．

证明：（Ⅰ）连接OE，

∵PE切⊙O于点E，

∴OE⊥PE，

∴∠PEF+∠FEO=90°，

又∴AB⊥CD，

∴∠B+∠BFM=90°，

又∴∠B=∠FEO，

∴∠BFM=∠PEF；

（Ⅱ）∵∠PEF=∠BFM，

∴∠EFP=∠PEF，

∴PE=PF，

又∵PE2=PD·PC，

∴PF2=PD·PC。

证明：（1）因为是圆的切线，所以．

又因为．

在中，由射影定理知，．

（2）证明：因为是圆的切线，．同（1），有，

又，所以，即．

又，所以，

故

证明：(Ⅰ)因为，

所以∠BCD=∠ABC，

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC，

所以∠ACE=∠BCD．

(Ⅱ)因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC∽△ECB，

故，即BC2=BE·CD。

(Ⅰ)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，

∴OD∥AE，

又AE⊥DE，

∴DE⊥OD，

又OD为半径，

∴DE是⊙O的切线。

(Ⅱ)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=，

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，

∴AH=8x，AD2=80x2，

由△AED∽△ADB，可得AD2=AE·AB=AE·10x，

∴AE=8x，

又由△AEF∽△DOF，

可得AF：DF=AE：OD=，

∴。

证明：如图，连接BE，

因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，

所以∠AEB=90°，即BE⊥AD，

又因为AD⊥l，所以BE∥l，

所以∠DCE=∠CEB，

因为直线l是圆O的切线，

所以∠DCE=∠CBE，

所以∠CBE=∠CEB，

所以CE=CB。

（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，

所以OA⊥AM，

又因为AP⊥OM，

在Rt△OAM中，

由射影定理知，。

（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，

同（Ⅰ），有，

又OB=OA，

所以，

又，

所以，

故。

解：（1）因为

所以∠BCD=∠ABC

又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC

∴∠ACE=∠BCD；

（2）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC∽△ECB

故

即BC2=BE×CD。

证明：（Ⅰ）∵AB=AC，AF=AE

∴CD=BE

又∵CF=CD，BD=BE

∴CD=BD

又∵△ABC是等腰三角形，

∴AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上．

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，

∴∠DHF=90°，

∴∠FDH+∠FHD=90°

又∵∠G+∠FHD=90°

∴∠FDH=∠G

∵⊙O与AC相切于点F

∴∠AFH=∠GFC=∠FDH

∴∠GFC=∠G

∴CG=CF=CD

∴点C是线段GD的中点．

证明：连接OC，则∠OAC=∠OCA，

又因为CA平分∠BAF，

所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，

所以OC∥AD，

又因为CD⊥AF，

所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线。