直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-1；几何证明选讲．

如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，点E为BC的中点，连接DE、AE，AE交⊙O于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为2，求AD•AC的值．

正确答案

证明：（1）连接OD，OE

∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=

∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE

∵OA=OD

∴∠CAB=∠ADO

则∠DOE=∠EOB

EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．

∴△ODE≌△OBE

∴EDO=∠EBO=90°

∴DE是⊙O的切线 …（5分）

（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．

可得△ABD∽△ACB所以，即AB2=AD•AC

所以AD•AC=4 …（10分）

解析

证明：（1）连接OD，OE

∵AO=OB，CE=EB∴OE∥AC，OE=

∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE

∵OA=OD

∴∠CAB=∠ADO

则∠DOE=∠EOB

EDO=∠EBO=90°又∵OD=OB，OE是公共边．

∴△ODE≌△OBE

∴EDO=∠EBO=90°

∴DE是⊙O的切线 …（5分）

（2）连接BD，显然BD是Rt△ABC斜边上的高．

可得△ABD∽△ACB所以，即AB2=AD•AC

所以AD•AC=4 …（10分）

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．

（Ⅰ）求证：A，D，F，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠C=50°，求∠DEF的度数．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，

∴DE⊥AE，

∵AF⊥DF，

∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；

（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴=90°+．

∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，

∵∠ADB=90°+∠DAF，

∴∠DAF=25°，

∵A，D，F，E四点共圆，

∴∠DEF=∠DAF=25°．

解析

（Ⅰ）证明：∵点E为内切圆D与边AC的切点，

∴DE⊥AE，

∵AF⊥DF，

∴A，D，F，E四点共圆，直径为AD；

（Ⅱ）∵锐角△ABC的内心为D，∴=90°+．

∵∠C=50°，∴∠ADB=115°，

∵∠ADB=90°+∠DAF，

∴∠DAF=25°，

∵A，D，F，E四点共圆，

∴∠DEF=∠DAF=25°．

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=CD，AB=AC，延长BC到点D，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=40°，则∠ABE的大小为______．

正确答案

40°

解析

解：∵AC=CD，∠D=40°，

∴∠CAD=40°，∠ACB=80°．

∴∠CBE=40°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=80°，

∴∠ABE=40°．

故答案为：40°

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题型：简答题

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简答题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为______．

正确答案

解：∵AC=CD，∠D=35°，

∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．

∴∠CBE=35°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=70°，

∴∠ABE=35°．

故答案为：35°．

解析

解：∵AC=CD，∠D=35°，

∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．

∴∠CBE=35°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=70°，

∴∠ABE=35°．

故答案为：35°．

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题型：填空题

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填空题

锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．若∠C=50°，则∠IEH的度数=______．

正确答案

∠IEH=25°

解析

解：∵⊙I切AC于点E，∴IE⊥AC，得∠AEI=90°，

又∵AH⊥IH，可得∠AHI=90°，

∴∠AEI=∠AHI=90°，

因此，A、I、H、E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，

∴∠IEH=∠IAH．

∵锐角△ABC的内心为I，

∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，

可得∠IAB=∠BAC，∠IBA=∠ABC，

因此，∠IAB+∠IBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=（180°-50°）=65°．

∵∠AIH为△ABD的外角，∴∠AIH=∠IAB+∠IBA=65°，

Rt△AIH中，∠IAH=90°-∠AIH=25°，可得∠IEH=∠IAH=25°．

故答案为：25°．

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题型：单选题

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单选题

已知如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（　　）

A38°

B52°

C68°

D42°

正确答案

B

解析

解：连结AC，可得

∵直线MN切圆O于C，∴∠BCM=∠BAC=38°，

∵AB是圆O的直径，

∴∠BCA=90°，可得∠B+∠BAC=90°，

由此可得∠B=90°-∠BAC=90°-38°=52°，即∠ABC=52°．

故选：B

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题型：填空题

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填空题

如图，PA，PB切⊙O于 A，B两点，AC⊥PB，且与⊙O相交于 D，若∠DBC=22°，则∠APB═______．

正确答案

44°

解析

解：连接AB

根据弦切角有∠DBC=∠DAB=22°

∠PAC=∠DBA

因为垂直∠DCB=90°

根据外角∠ADB=∠DBC+∠DCB=112°

∵∠DBC=∠DAB

∴∠DBA=180°-∠ADB-∠DAB=46°

∴∠PAC=∠DBA=46°

∴∠P=180°-∠PAC-∠PCA=44°

故答案为：44°

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE=40°，则∠A的度数为（　　）

A30°

B40°

C50°

D60°

正确答案

B

解析

解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE=40°，

∴∠A=∠CBE=40°．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，直线MN切

⊙O于D，∠MDA=45°，则∠DCB=______．

正确答案

135°

解析

解：连接BD，

∵AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA=45°，

∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，

∴∠DCB=∠ABD+∠ADB=45°+90°=135°．

故答案为：135°．

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题型：填空题

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填空题

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC，则sin∠BCO=______．

正确答案

解析

解：∵AB为直径，BC为圆的切线

且AD=DC

∴△ABC为等腰直角三角形，

设圆的半径为1，则OB=1，BC=2，0C=，

∴sin∠BC0=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF=______．

正确答案

45°

解析

解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，则∠B=∠EAC．

又CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD．

所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD．

根据三角形外角定理，∠ADF=∠AFD，

因为BE是圆O的直径，则∠BAE=90°，△ADF是等腰直角三角形，

所以∠ADF=∠AFD=45°．

故答案为：45°

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题型：填空题

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填空题

已知四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是______．

正确答案

52°

解析

解：连接AC，则∵MN切⊙O于C点

∴∠BCM=∠BAC=38°

∵AB是直径，

∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-38°=52°

故答案为：52°

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题型：简答题

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简答题

如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是多少？

正确答案

解：∵EB、EC是⊙O的切线，

∴EB=EC，

又∵∠E=46°，

∴∠ECB=∠EBC=67°，

∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°；

∵四边形ADCB内接于⊙O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A=99°．

解析

解：∵EB、EC是⊙O的切线，

∴EB=EC，

又∵∠E=46°，

∴∠ECB=∠EBC=67°，

∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°；

∵四边形ADCB内接于⊙O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A=99°．

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若PC=，∠CPA=______．

正确答案

30°

解析

解：连接OC，

PC是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°

∵PC=，OC=AB=3，

∴tan∠CPA===，

∴∠CPA=30°．

故答案为：30°．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．

（I）求证：∠BOC=∠ODA；

（II）若AD=OD=1，过D点作DE垂直于BC，交BC于点E，且DE交OC于点F，求OF：FC的值．

正确答案

解：（I）如图：连接BD，

因为CB，CD是圆的两条切线，

所以：BD⊥OC，

∴∠2+∠3=90°．

又AB为圆的直径，又∠1=∠ODA，

∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°；

∴∠1=∠3，

∴∠BOC=∠ODA．

（II）∵AO=OD=1，

则AB=2，BD=．且△AOD为等边三角形，∠1=60°．

又∠3=∠1=60°，OB=1，则OC=2．

∴BC=DC=，则△BCD为等边三角形．其中DE⊥BC，则BE=EC．

又AB∥DE，则OF=FC，即OF：FC=1：1．

解析

解：（I）如图：连接BD，

因为CB，CD是圆的两条切线，

所以：BD⊥OC，

∴∠2+∠3=90°．

又AB为圆的直径，又∠1=∠ODA，

∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°；

∴∠1=∠3，

∴∠BOC=∠ODA．

（II）∵AO=OD=1，

则AB=2，BD=．且△AOD为等边三角形，∠1=60°．

又∠3=∠1=60°，OB=1，则OC=2．

∴BC=DC=，则△BCD为等边三角形．其中DE⊥BC，则BE=EC．

又AB∥DE，则OF=FC，即OF：FC=1：1．

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