直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲）如图，半径是的⊙O中，AB是直径，MN是过点A的⊙O的切线，AC，BD相交于点P，且∠DAN=30°，CP=2，PA=9，又PD＞PB，则线段PD的长为______．

正确答案

6

解析

解：∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥DB

又∵直线MN与圆O相切于点A

∴∠B=∠DAN=30°

∴Rt△ADB中，AD=AB=，BD=AB=9

∵⊙O的弦AC、BD交于P点

∴PA•PC=PB•PD

设PD长为x，得2×9=x（9-x）

解之，得x=3或6

∵PD＞PB

∴x=6

故答案为6

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题型：简答题

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简答题

如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

正确答案

解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）

又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

从而∠ABE=30°，

于是．（10分）

解析

解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）

又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

从而∠ABE=30°，

于是．（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为______．

正确答案

99°

解析

解：如图，连接OB，OC，AC，

∵EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，

∠E=46°，∠DCF=32°，

∴∠DAC=∠DCF=32°，

∠BAC=（360°-90°-90°-46°）=67°，

∴∠BAD=32°+67°=99°，

故答案为：99°．

1

题型：填空题

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填空题

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上；如果∠P=50°，那么∠ACB等于______．

正确答案

65°

解析

解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠PAB=∠PBA．

∵∠P=50°，∴=65°．

由弦切角定理可得：∠C=∠PAB=65°．

故答案为：65°．

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题型：单选题

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单选题

如图，△ABC内接于⊙O于A，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，则∠ACB=（　　）

A120°

B150°

C90°

D100°

正确答案

A

解析

解：由题意，△ABC内接于⊙O于A，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，

∴∠AOB=120°，

∴∠ACB=180°-=120°，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为______．

正确答案

π

解析

解：∵点D在圆O直径AB的延长线上，

过D作圆O的切线，切点为C．CD=，BD=1，

∴CD2=BD•DA，

解得DA===3，

∴AB=3-1=2，

∴圆O的面积S==π．

故答案为：π．

1

题型：简答题

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简答题

如图，AE是的⊙O切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交⊙O于B，C两点．

（1）证明：O，D，B，C四点共线；

（2）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

正确答案

（1）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA2=ED•EO．

由切割线定理得EA2=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（2）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

解析

（1）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA2=ED•EO．

由切割线定理得EA2=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（2）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

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题型：单选题

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单选题

如图PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=（　　）

A2

B3

C

D

正确答案

D

解析

解：由于PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，PB=1，PBC为圆的割线，

由切割线定理得，PA2=PB•PC，

即PC=4，BC=3，

在直角三角形ABP中，AB==，

在直角三角形ABC中，AC=，

∴圆O的半径R为．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5．

（Ⅰ）若sin∠BAD=，求CD的长；

（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

正确答案

解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴=6．

由勾股定理可得==8．

∵，∴=4.8．

∴CD=2ED=9.6．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．

∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．

在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=，∴8x+x=，解得x=．

∴，

∴∠AOC=2∠ADC=．

∴扇形OAC（阴影部分）的面积S==．

解析

解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴=6．

由勾股定理可得==8．

∵，∴=4.8．

∴CD=2ED=9.6．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．

∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．

在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=，∴8x+x=，解得x=．

∴，

∴∠AOC=2∠ADC=．

∴扇形OAC（阴影部分）的面积S==．

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题型：单选题

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单选题

若图中，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C、B两点，且PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

解：由题意，PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，

∴AC=CE，

∴∠CAE=∠CEA=∠ABC，

∵PA切⊙O于点A，

∴∠CAP=∠ABC，

∴∠CAE=∠CEA=∠ABC=∠CAP，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

如图，点A，B，C在圆O上，AC是圆O的切线，求证：∠BAC=∠BDA

正确答案

证明：连接BE，AE，OA，则AE⊥AB，∠OAB=∠OBA，∠BDA=∠E，

∵AC是圆O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAC=∠BDA

解析

证明：连接BE，AE，OA，则AE⊥AB，∠OAB=∠OBA，∠BDA=∠E，

∵AC是圆O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAC=∠BDA

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题型：单选题

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单选题

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（　　）

A15°

B30°

C45°

D60°

正确答案

B

解析

解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3

∴∠BAC=30°，

∠B=60°，

∵过C作圆的切线l

∴∠B=∠ACD=60°，

∵过A作l的垂线AD，垂足为D

∴∠DAC=30°，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

（2016•南昌一模）如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．

（1）求AB的长；

（2）求．

正确答案

解：（1）根据弦切角定理，

知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，

∴△ABC∽△DBA，则，

故．…（5分）

（2）根据切割线定理，

知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，

两式相除，得（*）

由△ABC∽△DBA，

得，，

又，由（*）得．…（10分）

解析

解：（1）根据弦切角定理，

知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，

∴△ABC∽△DBA，则，

故．…（5分）

（2）根据切割线定理，

知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，

两式相除，得（*）

由△ABC∽△DBA，

得，，

又，由（*）得．…（10分）

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题型：单选题

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单选题

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（　　）

A4

B

C

D

正确答案

D

解析

解：Rt△ABC中，

∵∠C=90°，AB=5，BC=4，

∴AC==3，

∵以BC为直径的圆交AB于D，

∴AC是圆的切线，

∴AC2=AD•AB，

∴AD==，

∴BD=5-=．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=40°，则∠PCE等于______．

正确答案

70°

解析

解：如图，PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，

∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，

又∠AEB=40°，∴∠EDC=∠ECD=70°，即∠PCE=70°，

故答案为：70°．

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