- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．
正确答案
解：连接OD，
∵DC是圆O的切线，OD为圆半径，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，设∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=
解析
解：连接OD，
∵DC是圆O的切线，OD为圆半径，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，设∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=
正确答案
110°
解析
解：∵∠DAB=∠ACD，∠BAC=∠DAB+∠CAD=70°，
从而∠ACD+∠CAD=70°，
∴∠ADC=180°-70°=110°．
故答案为：110°．
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
正确答案
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
设圆半径为r，则r+
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
解析
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
设圆半径为r，则r+
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
正确答案
解析
解：∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴
故选C．
正确答案
解析
证明：∵AE=AC，AB为直径，
∴
由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等
∴∠OAC=∠OAE．
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∵EACD四点共圆，
∴∠EAC=∠PDE，
∴∠PDE=∠POC．
∠BAD，则∠BAD=（ ）
正确答案
解析
解：∵AC是圆O的切线
∴∠DAE=∠B
∵AE平分∠BAD，BD⊥AC
∴3∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠BAD=60°
故选D．
如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
正确答案
证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
解析
证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
正确答案
解析
解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，
DB2+3DB-28=0，
得DB=4．
∵∠A=∠BCD，
∴△DBC∽△DCA，
∴
AC=
则答案为：
正确答案
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF=FG，
∴EF2=FB•FA
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE
∴∠BEF=∠EAF
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF
∴∠BEF=∠ECD．
∴EF∥BC．
解析
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF=FG，
∴EF2=FB•FA
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE
∴∠BEF=∠EAF
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF
∴∠BEF=∠ECD．
∴EF∥BC．
正确答案
解：∵AB是圆的直径，
∴∠C=90°；
又AB=2，AC=1，
∴∠B=30°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B=30°．
故答案为：30°．
解析
解：∵AB是圆的直径，
∴∠C=90°；
又AB=2，AC=1，
∴∠B=30°，
∵AD为⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B=30°．
故答案为：30°．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求
正确答案
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴
在Rt△ABC中，
∴
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴
∴
解析
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴
在Rt△ABC中，
∴
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴
∴
正确答案
解析
∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，
∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴
∴AB2=AC•AD=mn，
即
故答案为：
求证：AP平分∠CAB．
正确答案
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠APC=90°，
∠APC+∠PAC=90°，
所以∠BPD=∠PAC，
∴∠PAC=∠BAP
即PA平分∠CAB．
解析
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠APC=90°，
∠APC+∠PAC=90°，
所以∠BPD=∠PAC，
∴∠PAC=∠BAP
即PA平分∠CAB．
正确答案
解析
解：∵AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点
∴∠ABC=90°
∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D，BC=1，AB=
∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°
由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°
△ABD中，由正弦定理可得
∴∠BOD=2∠BAD=150°
设所作的两切线交于点P，连接OB，OD，则可得OB⊥PB，OD⊥PD
即∠OBP=∠ODP=90°
∴点ODPB共圆
∴∠P+∠BOD=180°
∴∠P=30°
故答案为：
如图，直线BC切⊙O于B，AB=AC，AD=BD，则∠A=（ ）
正确答案
解析
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD．
∵直线BC切⊙O于B，∴∠CBD=∠A．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°．
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
故选：B．
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