热门试卷

解：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值．

理由如下，如图所示，连接BC．

∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，

∴∠PBC为定值，

∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC，为定值．

∵∠PCD=∠PBA，

∴△PCD∽△PBA，

∴===．

在Rt△PBC中，cos∠P==，

∴sin∠P=．

如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）

又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

从而∠ABE=30°，

于是AE=AB=3．（10分）

连接BD，

∵AB为平面直角坐标系xOy中单位圆O的直径，点D在第二象限内的圆弧上运动

∴AD=2cosθ，BD=2sinθ（其中＜θ＜）．…（2分）

在△BCD中，由弦切角定理得∠BDC=θ，又DC=AB=2，

∴△BCD面积为2sin2θ； …（4分）

又Rt△ABD的面积为2sinθ•cosθ．…（5分）

∴四边形ABCD的面积为S=2sinθ•cosθ+2sin2θ．…（6分）

因为S=sin2θ+（1-cos2θ） …（8分）

=sin（2θ-）+1 …（10分）

∴2θ-=，四边形ABCD面积取得最大值

所以当θ=时，四边形ABCD面积取得最大值+1．…（12分）

（1）证明：∵BD ∥MN，

∴，

又∵MN为圆的切线，

∴，则， 

∴∠DCN=∠CAD，

，

∴，

∴，

又，

∴，

∴AE=AD。

（2）解：且AE=AD，    

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=BC=4，    

设AE=x，易证，

又，

所以。

（Ⅰ）因为=，

所以∠BCD=∠ABC．

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC～△ECB，

故=．

即BC2=BE×CD．（10分）

解：易证，

所以，

BD=8。

证明：（1）连接OP，

因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC∥BD．

又OA=OB，PC=PD，

所以OP∥BD，

从而OP⊥l．

因为P在⊙O上，

所以l是⊙O的切线．

（2）连接AP，

因为l是⊙O的切线，

所以∠BPD=∠BAP．

又∠BPD+∠PBD=90°，

∠BAP+∠PBA=90°，

所以∠PBA=∠PBD，

即PB平分∠ABD．

解 （1）∵AC为圆O的切线，

∴∠B=∠EAC，

又CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，

即∠ADF=∠AFD．

又∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，

∴∠ADF=（180°-∠BAE）=45°

（2）∵∠B=∠EAC，∠ACE=∠BCA，

∴△ACE∽△BCA

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠ACB=∠EAC，

由∠BAE=90°及三角形内角和知，∠B=30°，

∴在Rt△ABE中，==tan∠B=tan30°=

（1）证明：∵BD ∥MN，

∴，

又∵MN为圆的切线，

∴，则， 

∴∠DCN=∠CAD，

，

∴，

∴，

又，

∴，

∴AE=AD。

（2）解：且AE=AD，    

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=BC=4，    

设AE=x，易证，

又，

所以。