直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：

（1）O、B、D、E四点共圆；

（2）2DC2=DM•AC+DM•AB．

正确答案

解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，

又D是BC的中点，所以DE=BD．

又OE=OB，OD=OD，

所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°．

故D，E，O，B四点共圆． …（5分）

（2）如图，延长DO交圆于点H，

∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，

∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，

∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）

解析

解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，

又D是BC的中点，所以DE=BD．

又OE=OB，OD=OD，

所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°．

故D，E，O，B四点共圆． …（5分）

（2）如图，延长DO交圆于点H，

∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，

∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，

∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

（1）不等式|2x-1|-|x+2|≥1的解集______．

（2）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线______．

（3）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=______．

正确答案

圆，双曲线

解析

解：（1）在|2x-1|-|x+2|≥1中，

由2x-1=0，得x=；由x+2=0，得x=-2．

①当x＞时，原不等式等价于2x-1-x-2≥1，

∴x≥4．

②当-2时，原不等式等价于1-2x-x-2≥1，

∴-2≤x≤-．

③当x＜-2时，原不等式等价于1-2x+x+2≥1，

∴x＜-2．

综上所述，|2x-1|-|x+2|≥1的解集是．

故答案为：．

（2）∵ρ=cosθ，

∴ρ2=ρcosθ，

∴x2+y2-x=0，

故ρ=cosθ是圆．

∵（t为参数），

∴，，

∴x2-y2=4，

故（t为参数）是双曲线．

故答案为：圆，双曲线．

（3）如图，∵AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，

它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，

∴∠OPA=90°，AP=BP=，

∵AP•BP=CP•DP，

∴==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知PA是圆O的切线，A为切点，割线PBC交圆O于B，C两点，D为BC中点．过点P，A，D的圆与圆O交于点E．

（1）证明：PE是圆O的切线；

（2）若PA=，PB=1，求圆O的半径r的最小值．

正确答案

（1）证明：连接OA，OE，则

因为PA是圆O的切线，A为切点，

所以OA⊥PA，

因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，

所以OE⊥PE，

所以PE是圆O的切线；

（2）解：因为PA=，PB=1，

所以由切割线定理，可得3=1×PC，

所以PC=3，

所以BC=2，

所以圆O的半径r的最小值为1．

解析

（1）证明：连接OA，OE，则

因为PA是圆O的切线，A为切点，

所以OA⊥PA，

因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，

所以OE⊥PE，

所以PE是圆O的切线；

（2）解：因为PA=，PB=1，

所以由切割线定理，可得3=1×PC，

所以PC=3，

所以BC=2，

所以圆O的半径r的最小值为1．

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题型：简答题

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简答题

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，割线PBC经过圆心O，且PB=BC．

（Ⅰ）求证：PA=AC；

（Ⅱ）若点D是弧AC的中点，PD与⊙O交于另一点E，PB=1，求PE的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，

∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，

∴PA=R．

连接OA，PA⊥OA，

∴∠POA=60°．∠AOC=120°．

∴AC=R，∴PA=AC．

（Ⅱ）解：连接OD，CD，

∵D为的中点，

∴，

而OC=OD，∠PCD=60°，

∵PB=1，

∴PC=3，CD=1，

由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°==7，

∴PD=，

再由切割线定理得，PA2=PE•PD，

∴．

∴PE=．

解析

（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，

∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，

∴PA=R．

连接OA，PA⊥OA，

∴∠POA=60°．∠AOC=120°．

∴AC=R，∴PA=AC．

（Ⅱ）解：连接OD，CD，

∵D为的中点，

∴，

而OC=OD，∠PCD=60°，

∵PB=1，

∴PC=3，CD=1，

由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°==7，

∴PD=，

再由切割线定理得，PA2=PE•PD，

∴．

∴PE=．

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题型：简答题

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简答题

（2015•洛阳校级模拟）如图，已知在半径为4的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．

（1）求证：AM•MB=EM•MC；

（2）求sin∠EOB的值．

正确答案

（1）证明：连接AE，BC，

∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，

∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），

∴△AME∽△CMB，

∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，

∴DE⊥EC，

∵DC=8，DE=，

∴EC==7，

设EM=x，由于M为OB的中点，

∴BM=2，AM=6，

∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），

整理得：x2-7x+12=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵EM＞MC，∴EM=4，

∵OE=EM=4，

∴△OEM为等腰三角形，

过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，

∴EF==，

∴sin∠EOB=．

解析

（1）证明：连接AE，BC，

∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，

∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），

∴△AME∽△CMB，

∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，

∴DE⊥EC，

∵DC=8，DE=，

∴EC==7，

设EM=x，由于M为OB的中点，

∴BM=2，AM=6，

∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），

整理得：x2-7x+12=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵EM＞MC，∴EM=4，

∵OE=EM=4，

∴△OEM为等腰三角形，

过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，

∴EF==，

∴sin∠EOB=．

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题型：简答题

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简答题

过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且GA=GF．

（Ⅰ）求证CA=CD；

（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH•BA=BF•BD．

正确答案

（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH•BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴，

∴BC2=BF•BD，

∴BH•BA=BF•BD．

解析

（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH•BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴，

∴BC2=BF•BD，

∴BH•BA=BF•BD．

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为______．

正确答案

解析

解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，

设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G

（1）证明：B、C、D、G四点共圆

（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=，OH=，求CD•CA的值．

正确答案

（1）证明：∵AD是直径，

∴∠AGD=90°，

∵∠BCA=90°，

∴∠AGD=∠BCA，

∴B、C、D、G四点共圆

（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，

∴CP2=CD•CA，

∵∠CPO=90°，PH⊥AD，

∴CP2=CH•CO，

∵CH=，OH=，

∴CO=5，

∴CP2=CH•CO=16，

∴CD•CA=16．

解析

（1）证明：∵AD是直径，

∴∠AGD=90°，

∵∠BCA=90°，

∴∠AGD=∠BCA，

∴B、C、D、G四点共圆

（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，

∴CP2=CD•CA，

∵∠CPO=90°，PH⊥AD，

∴CP2=CH•CO，

∵CH=，OH=，

∴CO=5，

∴CP2=CH•CO=16，

∴CD•CA=16．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知A，B，C是圆O上三个点，AB弧等于BC弧，D为弧AC上一点，过点A做圆O的切线交BD延长线于E

（1）求证：AB平分∠CAE；

（2）若AD•BE=，求△ABE的面积．

正确答案

解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，

又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，

因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；

（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，

又∵∠AEB=∠DEA，

∴△AEB∽△DEA，可得，得AB•AE=AD•BE=，

∵∠EAB=∠ADE=30°，

∴△ABE的面积S=AB•AEsin∠EAB=××=．

解析

解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，

又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，

因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；

（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，

又∵∠AEB=∠DEA，

∴△AEB∽△DEA，可得，得AB•AE=AD•BE=，

∵∠EAB=∠ADE=30°，

∴△ABE的面积S=AB•AEsin∠EAB=××=．

1

题型：填空题

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填空题

（理）如图，在△PAC中，PA=2，∠PAC=90°，∠PCA=30°．以AC为直径的圆交PC于点D，PB为圆的切线，B为切点，则PD=______；=______．

正确答案

1

2

解析

解：∵在△PAC中，PA=2，∠PAC=90°，∠PCA=30°，

∴PC=4，AC=2，

∵以AC为直径的圆交PC于点D，

∴PA2=PD•PC，即4=4PD，

∴PD=1，

∵PB为圆的切线，B为切点，

∴∠DBP=∠BCP，

∵∠DPB=∠BPC，

∴△DBP∽△BCP，

∴=

∵PB=PA=2，CP=4，

∴=2，

故答案为：1，2．

1

题型：填空题

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填空题

如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：∵AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，

且PB=OB=3，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，

∴由切割线定理得PC2=PB•PA=27，

∴PC=3，

连结OC，则OC=OP，

∴∠P=30°，

∴CD=PC=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，CD交⊙O于点D、F．

（Ⅰ）求证：AB2=CF•CD；

（Ⅱ）若DF=CE，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，

∴sin∠ACB==，

∴∠ACB=30°，

∴∠AOC=60°

∵OA=OB，∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC，

∵CA切圆O于A点，

∴由切割线定理得AC2=CF•CD，

∴AB2=CF•CD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=CE，AC2=CF•CD，DF=CE，

∴3DF2=CF•（CF+DF），

∴CF2-DF•CF-3DF2=0，

∴CF=DF

∴=．

解析

（Ⅰ）证明：∵C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，

∴sin∠ACB==，

∴∠ACB=30°，

∴∠AOC=60°

∵OA=OB，∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC，

∵CA切圆O于A点，

∴由切割线定理得AC2=CF•CD，

∴AB2=CF•CD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=CE，AC2=CF•CD，DF=CE，

∴3DF2=CF•（CF+DF），

∴CF2-DF•CF-3DF2=0，

∴CF=DF

∴=．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．

正确答案

证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°

又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以，

因为AC=2AD，

所以BC=2OD．

解析

证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°

又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以，

因为AC=2AD，

所以BC=2OD．

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题型：简答题

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简答题

如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=______．

正确答案

解：如图，PE 是圆的切线，

∴∠PEB=∠PAC，

∵PC是∠APE的平分线，

∴∠EPC=∠APC，

根据三角形的外角与内角关系有：

∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，

即∠PCE=75°，

故答案为：75°．

解析

解：如图，PE 是圆的切线，

∴∠PEB=∠PAC，

∵PC是∠APE的平分线，

∴∠EPC=∠APC，

根据三角形的外角与内角关系有：

∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，

即∠PCE=75°，

故答案为：75°．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．

（Ⅰ）求∠AEC的大小；

（Ⅱ）求AE的长．

正确答案

解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，

所以：∠AOB=60°；

∵OA=OB

∴∠AB0=60°；

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°．

（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，

在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．

∵BD•DC=AD•DE，

∴DE=．

∴AE=DE+AD=．

解析

解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，

所以：∠AOB=60°；

∵OA=OB

∴∠AB0=60°；

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°．

（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，

在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．

∵BD•DC=AD•DE，

∴DE=．

∴AE=DE+AD=．

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