热门试卷

证明：（Ⅰ）连接CF，由已知，在△BCD中，AB=AC=AD，

∴∠BCD=∠BCE=90°，

∴BE是圆O的直径．---------------------（2分）

∵∠CBE+∠DBC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，

∴∠BDC=∠CBE．

∵∠CBE=∠CFE，

∴∠CFE=∠BDC，

∴A、D、C、F四点共圆．----------------------------------------------------（5分）

（Ⅱ）连接HI，BF，由（Ⅰ）A、D、C、F四点共圆．得∠ADF=∠ACF=∠FBC，

∵AC是圆O的切线，

∴∠ACF=∠CEF，

∵HI∥DE，

∴∠CEF=∠HIF=∠HCF，

∴H、C、I、F四点共圆．-----------------------------------------------------------（3分）

∴∠HDC=∠FHI=∠FCI=∠ABF，

∴∠ADC=∠DBC=∠CBE，

又BC⊥DE，

∴△BED为等腰直角三角形．--------------------------------------------------------（5分）

（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…（2分）

又DH⊥BD，

故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，

所以B、D、F、H四点共圆．…（4分）

（2）解：因为AH与圆B相切于点F，

由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，

解得AD=4，…（6分）

所以BD=，BF=BD=1，

又△AFB∽△ADH，

则，得DH=，…（8分）

连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，

BH=，

故△BDF的外接圆半径为．…（10分）

证明：设圆内接五边形为ABCDE，圆心是 O．

连接OA，OB，OC OD，OE，可得五个三角形

∵OA=OB=OC=OD=OE=半径，∴有五个等腰三角形

在△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA中

则∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC，∠ODE=∠OED，∠OEA=∠OAE

因为所有内角相等，

所以∠OAE+∠OAB=∠OBA+∠OBC，所以∠OAE=∠OBC

同理证明∠OBA=∠OCD，∠OCB=∠OED，∠ODC=∠OEA，∠OED=∠OAB

则△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA 中，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA

∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△ODE≌△OEA  （SAS边角边定律）

∴AB=BC=CD=DE=EA

∴五边形ABCDE为正五边形

解：设F 为AD 延长线上一点

∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF 3分

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，5分

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，

即AD 的延长线平分∠CDE.10分

证明：过点N作NE∥AD，交CD于点E，可得

∵△ACD中，NE∥AD，∴=

同理可得，

∴••=．

因为BD=BC，所以•=1，可得．

∵AB是△NBC的外接圆的切线，

∴∠ABN=∠C，可得△ABN∽△ACB，则．

∴，即 ．

∵，

∴，结合已知，可得．

证明：，∴∠BAC=∠ABC

∵∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠ADC

∴

∵CE=CD，∠ADC=∠E

∴…（4分）

∵四边形ADBC内接于圆O，∴∠CAE=∠CBD，…（6分）

又AC=BC，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD．   …（10分）