热门试卷

解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

∴∠AEB=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE，

∵S=AB•ACsin∠BAC，且S=，

∴sin∠BAC=，

又∵∠BAC是三角形内角，

∴∠BAC=60°．

（Ⅰ）证明：连接OD

∵AD∥OC，

∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∴∠COB=∠COD，

在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，

∴△COB≌△COD（SAS），

∴∠ODC=∠OBC，

∵BC与⊙O相切于点B，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°，

∴∠ODC=90°，

即OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，

由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，

∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．

（1）证明：AB为直径，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90°，

∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．

（2）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，

∵AE•EB=CE•ED，∴6m2=30k2，得m=k．

连接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=．

连接AD，由△CEB∽△AED，得．

在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，于是有，

解得m=2，∴AB=AE+EB=10．

解：如图，连结AC，BC，

∵C，D是半圆周上的两个三等分点，

CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，

∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ACB=∠CEB=90°，

∴∠BCE=30°，∴CF=CE，

∵直径AB=4，∴CB=2，AC==2，

∴CE==，

∵∠EBF=30°，∠BEF=90°，

∴BF=CF=2EF，

∵CF+EF=CE=，

∴BF=CF==．

故答案为：．

解：∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，

∴在直角三角形ACD中，AD=1，∴AC=2，

∴在直角三角形ABC中，AC=2，∴AB=4，

∴圆的半径是2，从而圆的面积是4π．

故答案为：4π．

（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，

∴由切割线定理得：QA2=QB•QC=（QC-BC）•QC=QC2-BC•QC．…（4分）

∴QC2-QA2=BC•QC．…（5分）

（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，

∴AC=BC=5，…（6分）

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QB•QC=（QC-BC）•QC，

∴QC=9．…（8分）

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，

∴，…（9分）

∴．…（10分）

（Ⅰ）证明：连接BE，

∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，

∴∠ADC=∠ABE=90°，

∵∠C=∠E，

∴△ADC∽△ABE．

∴AC：AE=AD：AB，

∴AC•AB=AD•AE，

又AB=BC…（4分）

故AC•BC=AD•AE…（5分）

（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC2=FA•FB…（6分）

又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF-AF=5…（7分）

∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…（8分）

∴…（9分）

∴…（10分）