热门试卷

（Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P                   …（1分）

∵CE是圆O的切线，

∴∠ACE=∠CBE，

∴∠CBE=∠P        …（2分）

∵∠BEP=∠CEB，

∴△BEC∽△PEB                     …（3分）

∴，

∴BE2=CE•PE…（4分）

（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，…（5分）

∴EC2=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．                      …（6分）

∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，

∴=．      …（7分）

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2．

∴AC=，…（9分）

由，可得PB=．                            …（10分）

证明：（1）因MD与圆O相交于点T，

由切割线定理DN2=DT•DM，DN2=DB•DA，

得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），

因BD=OB，且BC=OC=，

则DB•DA=r•3r=3r2，，

所以DT•DM=DO•DC．

（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，

且∠TDO=∠CDM，

故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；

根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠DMC=30°，

即有∠BMC=15°．

证明：连结OC

∵∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，它们同对弧BC

∴∠BOC=2∠A

∵弧CD=弧BD，∴∠BOD=∠DOC=∠BOC

因此∠BOC=2∠BOD，可得∠A=∠BOD

∴AC∥OD

证明：设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则

由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=（180°-2β）=90°-β；

同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．

而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，

∵∠A=∠C

∴∠OCN=∠MAO

∴△CON∽△AMO，

∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO2．

同理，AQ•CP=AO2，∴AM•CN=AQ•CP．

∴△AMQ∽△CPN，∴∠AMQ=∠CPN．

∴MQ∥NP．

证明：（1）过T作出两圆的公切线TM，则

∠BTM=∠TAB，∠BTN=∠TCD，

∴∠TAB=∠TCD，

∴AB∥CD；

（2）∵TM是两圆的公切线，CD切小圆于E点，

∴∠MTE=∠DET，

∵∠MTE=∠BTM+∠DTF

∠DET=∠TCD+∠CTF，∠BTM=∠TCD，

∴∠CTF=∠DTF

（3）由（2）可得∠DTF=∠EDF，

∴∠DFT=∠EFD，

∴△DTF∽△EDF，

∴=，

∴DF2=EF•TF=EF•（EF+TE）=EF2+EF•TE，

∴DF2-EF2=EF•TE．

∵EF•TE=CE•DE，

∴DF2-EF2=CE•DE．

（1）证明：设EC与AF交于M，连接BC，则BC⊥AC，

因为直线EC与⊙O相切于C，

所以∠ACM=∠ABC，

因为∠OAC=∠CAF，

所以∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°，

所以AF⊥EC；

（2）解：连接CF，则∠MCF=∠MAC，∠ECB=∠OAC，

因为∠OAC=∠CAF，

所以∠ACE=∠AFC，

所以△ACE∽△AFC，

所以，

所以AC2=AE•AF，

因为AE=5，AF=2，

所以AC=．

（1）证明：由切割线定理得CD2=DA•DB=3，

∴…（1分）

又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4…（2分）

∴在Rt△CBA中，CB=AB=2，

∴∠ACB=∠CAB…（3分）

又∵CD为圆O的切线，

∴∠BCD=∠CAB…（4分）

∴∠BCD=∠ACB，CB为∠ACD的角平分线  …（5分）

（2）解：连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，

设DC延长线上一点为F，则

∵AE为圆O直径，∴

∵直线l与圆O相切于点C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2，

∴∠1=∠2（等角的余角相等）

∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB…（6分）

∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等） …（7分）

∵AC2=AD2+CD2=9+3=12…（8分）

∴AE2=EC2+AC2=4+12=16…（9分）

∴AE=4圆O的直径为4                          …（10分）