直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交AB于点E，OA=3，DB=3，则DE=______．

正确答案

3

解析

解：连结OF．

∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°，

∴∠OFC+∠CFD=90°．

∵OC=OF，

∴∠OCF=∠OFC．

∵CO⊥AB于O，

∴∠OCF+∠CEO=90°．

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，

∴DF=DE．

∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA．

∴DE2=DB•DA，

∵OA=3，DB=3，

∴DE2=DB•DA=3×9=27，

∴DE=3．

故答案为：3．

1

题型：简答题

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简答题

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：

（Ⅰ）⊙O的半径；

（Ⅱ）sin∠BAP的值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以PA2=PB•PC，

又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15 …（2分）．

因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5．…（4分）

（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，…（5分）

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，

∴…（7分）

设AB=k，AC=2k，

∵BC为⊙O的直径，

∴AB⊥AC，

∴…（8分）

∴sin∠BAP=sin∠ACB=…（10分）

解析

解：（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以PA2=PB•PC，

又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15 …（2分）．

因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5．…（4分）

（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，…（5分）

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，

∴…（7分）

设AB=k，AC=2k，

∵BC为⊙O的直径，

∴AB⊥AC，

∴…（8分）

∴sin∠BAP=sin∠ACB=…（10分）

1

题型：简答题

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简答题

在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F．若AB=AD，AF=18，BC=15，求AE的长．

正确答案

解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，

∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，

∴182=FB（FB+15），

∴FB=12，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵AF是圆的切线，

∴∠FAB=∠ADB，

∴∠FAB=∠ABD，

∴AF∥BD，

∵AD∥FC，

∴四边形ADBF为平行四边形，

∴AD=FB=12，

∵∠ACF=∠ADB=∠F，

∴AC=AF=18，

∵，

∴，

∴AE=8．

故答案为：8．

解析

解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，

∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，

∴182=FB（FB+15），

∴FB=12，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵AF是圆的切线，

∴∠FAB=∠ADB，

∴∠FAB=∠ABD，

∴AF∥BD，

∵AD∥FC，

∴四边形ADBF为平行四边形，

∴AD=FB=12，

∵∠ACF=∠ADB=∠F，

∴AC=AF=18，

∵，

∴，

∴AE=8．

故答案为：8．

1

题型：简答题

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简答题

如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．

（1）求证：AT2=BT•AD；

（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．

正确答案

（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，

所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．

又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）

（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．

由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．

因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT=∠DBT=90°．

所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）

解析

（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，

所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．

又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）

（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．

由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．

因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT=∠DBT=90°．

所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）

1

题型：填空题

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填空题

如图，AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，BC交圆O于点D，E为CD的中点，且BD=5，AC=6，则CD=______；AE=______．

正确答案

4

2

解析

解：如图所示，连接AD．

∵AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，

∴∠BAC=90°，∠ADC=90°．

由射影定理可得AC2=CD•CB．

∵BD=5，AC=6，∴62=CD•（CD+5），

解得CD=4．

在Rt△ACD中，．

在△ACE中，由余弦定理可得AE2=CE2+AC2-2CE•ACcos∠ACE

==24．

∴．

1

题型：填空题

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填空题

如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=2PB，=______．

正确答案

解析

解：设PB=x，则BC=2x．

根据切割线定理，得到PA2=PB•PC=3x2，

PA=x，

所以．

故填：．

1

题型：单选题

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单选题

如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB=60°，AB=a，则CD=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵AC为BD的垂直平分线，

根据圆的对称性可知，△ABD是边长为a的正三角形，且AC是圆的直径．

设AC与BD交于E点，圆的半径为R，则AE=，DE=，

AC=2R==，∴CE=AC-AE=，

在直角三角形CDE中，CD===．

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=3，AC=5，BC=，则•=（　　）

A-8

B-1

C1

D8

正确答案

D

解析

解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

∵⊙O中，OD⊥AB，

∴AD=AB，

因此，•=||||=||2=

同理可得•=||2=

∴•=•-•=8

故选：D．

1

题型：简答题

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简答题

[A．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．

正确答案

解：连接OC，BE，AC，则BE⊥AE．

∵BC=4，∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形，

∴∠CBO=∠COB=60°．

又直线l切⊙O与C，∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴AD∥OC．

∴∠EAB=∠COB=60°．

在Rt△BAE中，∴∠EBA=30°，

∴．

解析

解：连接OC，BE，AC，则BE⊥AE．

∵BC=4，∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形，

∴∠CBO=∠COB=60°．

又直线l切⊙O与C，∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴AD∥OC．

∴∠EAB=∠COB=60°．

在Rt△BAE中，∴∠EBA=30°，

∴．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，若OC=1，OP=2，则PA=______，PB=______．

正确答案

解析

解：设OP与⊙O相较于点E，并延长PO交⊙O于点F，由PA与圆O相切于A，

根据切割线定理可得PA2=PE•PF，∴PA2=（2-1）×（2+1），解得PA=．

连接OA，则∠PAO=90°，

∵∠OAB+∠PAB=90°，∠OBC+∠OCA=90°，

∠OAC=∠OCB，∠ABP=∠OBC，

∴∠PAB=∠ABP．

∴PB=PA=．

故答案分别为，．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的弦BC的延长线切⊙O2于点D，BA交⊙O2于点E，求证：∠CAD=∠DAE．

正确答案

证明：过点A作两圆的公切线GF交BD于G，延长DA交⊙O1于H，连接BH，

则∠ADC=∠FAC，∠H=∠BAG，

∵∠BAG=∠FAC，

∴∠H=∠ADC，

根据圆内接四边形的性质可知：∠H=∠DEA，

∴∠DEA=∠ADC，

又∵AE：AD=ED：DC，

∴△AED∽△ADC，

∴∠CAD=∠DAE．

解析

证明：过点A作两圆的公切线GF交BD于G，延长DA交⊙O1于H，连接BH，

则∠ADC=∠FAC，∠H=∠BAG，

∵∠BAG=∠FAC，

∴∠H=∠ADC，

根据圆内接四边形的性质可知：∠H=∠DEA，

∴∠DEA=∠ADC，

又∵AE：AD=ED：DC，

∴△AED∽△ADC，

∴∠CAD=∠DAE．

1

题型：填空题

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填空题

如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°，圆O过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点，连BD．若BC=2，则AC=______．

正确答案

1+

解析

解：∵AB=AC，∠C=72°，BC是⊙O的切线，

∴∠CBD=∠BAC=36°，

∴∠ABD=36°，

∴∠BDC=∠BCD=72°，

∴AD=BD=BC；

又∵BC是切线，

∴BC2=CD•AC，

∴BC2=（AC-BC）•AC

设AC=x，则可得到：（x-2）x=4，

∴x2-2x-4=0

解得：x1=1+，x2=1-（x2＜0不合题意，舍去）．

∴AC=1+．

故答案为：1+．

1

题型：填空题

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填空题

如图，一个半径为1的球O放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一光源A，AA1与球相切，AA1=3，球在桌面上的投影是一个椭圆C，记椭圆C的四个顶点分别为A1、A2、B1、B2．则对于下列的命题：

①若点P为椭圆C上的一个动点，则tan∠OAP=；

②椭圆C的长轴长为4；

③若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A-A1B1A2B2的左视图的面积为3；

④椭圆C的离心率为

其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）

正确答案

①②④

解析

解如图是过锥体的轴与椭圆长轴A1A2的截面，根据圆锥曲线的定义，

可得球与长轴A1A2的切点是椭圆的焦点F，OE=OF=1，A1E=A1F=1，AA1=3，

AE=2，AD=2，

对于①，tan∠OAP=tan∠OAD==，故①对；

对于②，tan∠A1AA2=tan2∠OAD==，

A1A2=AA1•tan∠A1AA2=3×=4，故②对；

对于③由于2a=4，a=2，a-c=1，c=1，b2=a2-c2=3，b=，

若沿直线B1B2的方向为主视方向，则几何体A-A1B1A2B2的左视图的面积为×3×2=3，故③错；

对于④椭圆C的离心率为e==，故④对．

故答案为：①②④．

1

题型：填空题

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填空题

在60°的二面角内放入一个球，球与该二面角的两个半平面分别切于两点A，B，且A、B两点的球面距离为2πcm，则该球的半径为 ______cm．．

正确答案

3

解析

解：设求心为0，由A，B分别向二面角的棱做垂线垂足为P，则∠APB=60°，

则∠AOB=120°，设求的半径为r

则A、B两点的球面距离为•2πr=2π，r=3

故答案为：3

1

题型：简答题

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简答题

如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交

AC于另一点F，⊙O1与⊙O2交于点G．

（1）求证：∠EAG=∠EFG；

（2）若⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O2于G，求线段AG的长．

正确答案

解：（1）连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，

∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．

即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG．

（2）因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，

所以由垂径定理知FC=2=8，又AC=10，

∴AF=2，∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF•AC=2×10=20，AG=2．

解析

解：（1）连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，

∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．

即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG．

（2）因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，

所以由垂径定理知FC=2=8，又AC=10，

∴AF=2，∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF•AC=2×10=20，AG=2．

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