热门试卷

证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．

又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

∴，得．

∵G是AD的中点，即DG=AG．

∴BF=EF．

（2）连接AO，AB．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，

∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．

又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．

∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

（Ⅰ）证明：连接AC，

∵P是⊙O的直径CB的延长线上的点，PA与⊙O相切于点A，

∴PA2=PB•PC=PB（PB+BC）=225，

∴PA=15，

在△ACP和△BAP中，∵∠ACP=∠BAP，∠APC=∠BPA，

∴△ACP∽△BAP，

∴=3，

∵AC⊥AB，

∴tan∠ABC==3；

（Ⅱ）解：连接BD，则

在△ACP与△BDA中，

∵∠ACP=∠BDA，∠APC=∠BAD，

∴△ACP∽△BDA，

∴，

∴AD==3AB，

∵AC⊥AB，=3，

∴AC2+AB2=BC2=1600，

∴AB=4，

∴AD=12．

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

证明：连接 AD．

∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．

∴AD⊥BD（垂直的定义）．

又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．

∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．

∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．

又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，

∴∠B=∠E（圆周角定理）

∴∠E=∠C（等量代换）

（1）证明：∵CD∥AP，∴∠ECD=∠APE．

∵∠EDF=∠ECD，∴∠APE=∠EDF…（3分）

又∵∠DEF=∠PEA，∴△DEF∽△PEA

∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．…（5分）

（2）解：∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，

∴△DEF∽△CED，∴DE：EC=EF：DE，

∴DE2=EF•EC，

∵DE=6，EF=4，∴EC=9．…（6分）

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB

∴CE•EB=EF•EP．…（7分）

∴9×6=4×EP．解得：．…（8分）

∴，．

由切割线定理得：PA2=PB•PC，…（9分）

∴，

∴．…（10分）

（1）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC．

∴OD∥AE．

又AE⊥DE，∴OE⊥OD，

又OD为半径．

∴DE是的⊙O切线．…（5分）

（2）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB．

．…（6分）

∵OD=5，AB=10，OH=2，∴AH=7．

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7，…（8分）

又由△AEF∽△DOF，可得AF：DF=AE：OD=7：5，

∴．…（10分）

证明：延长OP交⊙O与点E，F，

由相交弦定理得，

又AP=1，CP=3，

∴DP=1，BP=3，

∴AP=DP，BP=CP，而∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB．

证明：（Ⅰ）AB为直径，E在圆O上，BE⊥AE   

∵PC⊥AB，

∴∠PAC=90°-∠P，∠PFE=90°-∠P，

∴∠PAB=∠PFE-----------（5分）

（Ⅱ）连结AD、BD则AD⊥BD   Rt△ABD中   CD2=AC•CB

由（Ⅰ）得△BCF∽△PCA，∴，

∴CD2=BC•AC=CF•CP，

∴CD2=CF•CP-----------（10分）