- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径，AB=6，AC=4，AD=3，则AE的长为______；
正确答案
8
解析
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE，
∴
∵AB=6，AC=4，AD=3，
∴
∴AE=8，
故答案为：8．
正确答案
∵ABCD是正方形，
∴
∴∠APE=∠DPC，
∵∠PAE=∠PDC
∴△PAE∽△PDC
∴
∵
∴∠ECD=∠DPC
∵∠EDC=∠CDP
∴△EDC∽△CDP
∴
∴
①+②得：
同理
∴
∴
解析
∵ABCD是正方形，
∴
∴∠APE=∠DPC，
∵∠PAE=∠PDC
∴△PAE∽△PDC
∴
∵
∴∠ECD=∠DPC
∵∠EDC=∠CDP
∴△EDC∽△CDP
∴
∴
①+②得：
同理
∴
∴
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．
正确答案
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴
又∵
根据切割线定理得
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴
又由题意知CH=
∴EH=1，∴
∴AD=3ED．
解析
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴
又∵
根据切割线定理得
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
∴
又由题意知CH=
∴EH=1，∴
∴AD=3ED．
正确答案
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=
∴AC=2OD．
解析
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=
∴AC=2OD．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P
∴PB×PA=PC×PD，△PBC∽△PDA
∴
∵
∴PB=3
∴
故选A．
正确答案
解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，
∴∠PAB=∠PCA，
又∴∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴PB：PA=PA：PC，
即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），
即36=PB•（PB+9），
解得PB=3，
又由AB：AC=PA：PC得：AB：4=6：12，
解得：AB=2，
故答案为：2．
解析
解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，
∴∠PAB=∠PCA，
又∴∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴PB：PA=PA：PC，
即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），
即36=PB•（PB+9），
解得PB=3，
又由AB：AC=PA：PC得：AB：4=6：12，
解得：AB=2，
故答案为：2．
（Ⅰ）△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）FA2=FB•FD．
正确答案
∵AE=
∴
∵∠EDB=∠ADF，
∴△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）连OA，OB，OC，则
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠COA，
∵OB=OC，
∴OA⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，
∴∠EBD=∠AFD，
∴BC∥FA，
∵OA⊥BC，
∴OA⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切，
∴FA2=FB•FD．
解析
∵AE=
∴
∵∠EDB=∠ADF，
∴△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）连OA，OB，OC，则
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠COA，
∵OB=OC，
∴OA⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，
∴∠EBD=∠AFD，
∴BC∥FA，
∵OA⊥BC，
∴OA⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切，
∴FA2=FB•FD．
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM=4，BM=9，则弦CD的长为______．
正确答案
12
解析
∵弦CD⊥AB，垂足为M，
∴CM=DM
由相交弦定理可得：
AM•BM=CM•DM
又∵AM=4，BM=9，
∴CM=DM=6
∴CD=12
故答案为：12
正确答案
60°
3
解析
解：∵PA切圆O于A点，
∴OA⊥PA，
∵PA=
∴∠AOB=60°，AO=1，PO=2，
∴OC=1，
∴PC=3
故答案为：60°，3．
正确答案
2
解析
解：连接OP，如下图所示：
∵OD⊥BC，BC=6，圆的半径R=OD=OC=5
则BE=CE=3，OE=
又∵P为AD的中点，
∴OP⊥AD
在Rt△OPD中，由射影定理得
OP=
∴DP=
∴AD=2
故答案为：2
（1）求证：AP是圆O的切线；
（2）若圆O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．
正确答案
解析
∵AB=AC，
∴AE平分BC，
∴点O在AE上．（2分）
又∵AP∥BC，
∴AE⊥AP，
∴AP为圆O的切线．（4分）
解：（2）∵BE=
∴
又∵∠AOP=∠BOE，∠P=∠OBE
∴△OBE∽△OPA，（6分）
∴
即 
∴
正确答案
6
解析
解：根据切割线定理
PT2=PA•PB，PB=
∴AB=PB-PA=8-2=6．
故填：6．
正确答案
延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．
∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，
∴CE⊥AD，
∵AB=8，DC=4，
∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，
∴DE=
故答案为：2．
解析
延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．
∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，
∴CE⊥AD，
∵AB=8，DC=4，
∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，
∴DE=
故答案为：2．
正确答案
解：∵AF：FB：BE=4：2：1，∴可设AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．
由相交弦定理可得：AF•FB=DF•FC，∴
∴AF=2，BF=1，
根据切割线定理可得：CE2=BE•EA=
解析
解：∵AF：FB：BE=4：2：1，∴可设AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．
由相交弦定理可得：AF•FB=DF•FC，∴
∴AF=2，BF=1，
根据切割线定理可得：CE2=BE•EA=
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．
正确答案
（1）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，
又由（1）知
∴AC=12
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴
∴
解析
（1）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，
又由（1）知
∴AC=12
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴
∴
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