热门试卷

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 1

证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，

∴AC=BC=5，

由切割线定理得：

QA2=QB•QC=（QC-BC）•QC，

∴QC•BC=QC2-QA2．（5分）

（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，

∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，

∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，

∴△QAB∽△QCA，

∴=，∴AB=．（10分）

（Ⅰ）证明：连接DE，

∵ACED是圆内接四边形，

∴∠BDE=∠BCA，

又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，

又∵AB=2AC，∴BE=2DE，

∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，

∴BE=2AD；…（5分）

（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，

则BE=2t，BC=2t+6，

根据割线定理得BD•BA=BE•BC，

即（6-t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t-18=0，

解得或-6（舍去），则．…（10分）

（Ⅰ）证明：延长DC与圆O交于点M，

因为CD⊥AB，

所以CD2=CD•CM=AC•BC，

因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以=，

即AC•BC=CE•CG，故CD2=CE•CG．…（5分）

（Ⅱ）解：因为AC=CO=1，所以CD2=AC•BC=3，

又CD=3CE，由（Ⅰ）得CG=3CD，

GT2=GM•GD=（CG+CM）•（CG-CD）=（CG+CD）•（CG-CD）

=CG2-CD2=8CD2=24，故GT=2．…（10分）

（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°

又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°

又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）（3分）

所以Rt△AGB和Rt△DCA相似

所以

又因为OG⊥AC，所以GC=AG

所以，即BA•DC=GC•AD（5分）

（2）解：因为AC=12，所以AG=6，

因为AB=10，所以

由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以（8分）

所以AD=15，即圆的直径2r=15

又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM-100=0

解得BM=5（10分）．

（1）证明：连接OE，则OE⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OE∥AD，

∴∠OEA=∠DAE，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠DAE=∠OAE，

∴AE是∠CAD的平分线；

（2）解：若CE=10，CB=5，由切割线定理，可得102=5•CA，

∴CA=20，

∴OA=OB=7.5，

∴cos∠COE==

△OAE中，AE==．

解：因为切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，PA=2，PB=4，

所以40=4PC，所以PC=10，

所以BC=6，

因为DC=2BD，所以BD=2，DC=4，

因为∠BCA=∠PAB，∠BAD=∠PAB，

所以△BCA∽△BAD，

所以，

所以BA=2．

证明：连接AC，AD，AE，AF，则

∵ADEB是圆内接四边形，

∴∠AEC=∠D，

同理∠C=∠AFD，

从而∠DAF=∠CAF

（1）∵∠DBA=∠CBA，

∴AD=AE，AF=AC，

∴△ADF≌△AEC，

∴DF=CE； 

（2）∵DF=CE，

∴△ADF≌△AEC，

∴AD=AE，

∴∠DBA=∠CBA．

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴．

又∵HE=EC，∴BF=FD，

故点F是BD中点．…（5分）

（2）证明：如图，连接CB、OC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

又∵F是BD中点，∠ACB=90°，DB⊥AB，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA

=∠CAB=∠ACO，

∴∠OCF=90°，

∴CG是⊙O的切线．…（10分）

解：连接DE，

∵ACED是圆内接四边形，

∴∠BDE=∠BCA，

又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，

又∵AB=2AC，∴BE=2DE，

∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，

∴BE=2AD，

设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，

根据割线定理得BD•BA=BE•BC，

即（6-t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t-18=0，

解得t=或-6（舍去），则AD=．

故答案为：

（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，

又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．

∴，又∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，

又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，

∴FG∥AC．（5分）

（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，

∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．

∴△CGF∽△CDE，∴=．

又∵CG=1，CD=4，∴=4．（10分）