热门试卷

（I）证明：如图所示，连接BE．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．

又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．

∵AD⊥BC，∠ADC=90°．

∴△ABE∽△ADC，∴，∴AB•AC=AD•AE．

又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．

（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，

∵AF=2，CF=4，∴42=2BF，解得BF=8．

∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，

∴，∴=3．

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD．

∵∠ABD=∠ECD

∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC

∴△BCD∽△CED，∴，

∴CD2=DE•DB，

∵DE=2，BE=4，

∴DC=2；    …（5分）

（Ⅱ）解：∵D是弧AC的中点，

∴OD⊥AC，设垂足为F，OF=1，

在Rt△COF中，OC2=CF2+OF2，即CF2=r2-1

在Rt△CFD中，DC2=CF2+DF2，

∴12=r2-1+（r-1）2，解得r=3   …（10分）

证明：（1）连接BE，OE，

∵AB是直径，∴∠AEB=90°，

∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，

∴∠ABE=∠C，

∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，

∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，

∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，

∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．

（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，

∴DM=OD-OM=（AC-AB），

∴DM•AC+DM•AB

=DM•（AC+AB）

=（AC-AB）•（AC+AB）

=（AC2-AB2）

=BC2

=DE•BC．

∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．

证明：（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，

又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，

∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA，

∴∠CDE=∠DCE，即CE=DE．

（Ⅱ）因为PC平分∠APE∴，

又PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点，

∴PE2=PB•PA，

即

∴=

证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，

∴=，可得∠DBC=∠BCD，

又∵BE与圆O相切于点B，

∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，

∴BD平分∠CBE；

（2）由（1）可知BE=BH，

所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，

所以△ABE∽△ACH，

所以，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．

（1）解：由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE=∠ABE，

又∠DEC=∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是==．①

设DE=a，CE=b，则由=，得3b2=2a2，即b=a

代入①，得==．（5分）

（2）证明：由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE．

∵∠CDE=∠ABE，∴∠AEF=∠EBF．

又∠BFE=∠EFA，

∴△BEF∽△EAF，于是=，

故FA，FE，FB成等比数列．（10分）

解：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．

由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CE．

∵AF=3FB，AF+FB=2R，

∴FB=R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB为等边三角形．

∴∠ABE=60°．

∴AE=BEtan60°=．

在Rt△ACE，==．

由割线定理可得：CD•CA=CE•CB，∴=．

故答案为．

选修4-1：几何证明选讲

解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，

MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），

所以MA=3，AB=12-3=9．…（5分）

（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，

由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）

又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD．

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，

于是90°-∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）

又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，

所以∠DCB=120°…（10分）

解：由圆的割线定理，PA•PB=PC•PD，可以求出PD=8，

即CD=3，

CD=OC=3

∴弦CD所对应的圆心角是60°，

又由于同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，

弦CD对应的圆周角即是30°，

即∠CBD=30°