热门试卷

（Ⅰ）证明：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC，

由BC∥OD⇒OD⊥AC，

则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，

⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．

⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．

（Ⅱ）解：BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD

⇒⇒BC==⇒=⇒=⇒=⇒BE=．

解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．

又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．

∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．

∴∠ADF=45°．

（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．

由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，

∴∠B=30°．

∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△BCA，

∴=tan30°=．

（1）证明：∵AB∥CD，∴∠PAB=∠AQC，

又PQ与圆O相切于点A，

∴∠PAB=∠ACB，

∵AQ为切线，∴∠QAC=∠CBA，

∴△ACB∽△CQA，∴=，即AC2=CQ•AB.5分

（2）解：∵AB∥CD，AQ=2AP，

∴===，

由AB=，BP=2，得QC=3，PC=6，

∵AP为圆O的切线，∴AP2=PB•PC=12，

∴AP=2，∴QA=4，

又∵AQ为圆O的切线，∴AQ2=QC•QD，∴QD=8.10分．

（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA2=ED•EO．

由切割线定理得EA2=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即=，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（Ⅰ）得：

∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

（1）证明：∵弦AC=BD，∴∠ABC=∠BCD．

又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，

∴∠ACE=∠BCD．

（Ⅱ）解：∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，

由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．

∴△BEC∽△CBD，∴，

∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．

证明：∵FG为⊙O的切线，而FDA为⊙O的割线，

∴FG2=FD•FA①

又∵EF∥CB，

∴∠1=∠2．而∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∠EFD=∠AFE为公共角

∴△EFD∽△AFE，，

即EF2=FD•FA②

由①，②可得EF2=FG2

∴EF=FG．

（1）证明：∵=，

∴∠BAE=∠CAE，

∵∠C=∠E，

∴△ABE∽△ADC，

∴，

∴AB•AC=AD•AE；

（2）解：∵AD=2，AE=5，

∴AB•AC=AD•AE=10．

∵S△ABC=AB•ACsin∠BAC，S△ABC=5

∴sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

∴∠BAC=90°．

解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，

又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．

∵AB=2AC，

∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．

（II）根据题意，AB=2AC=4，

由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•4，

可得（4-AD）•4=2AD•4，解得AD=．