直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连结DE．

（Ⅰ）若BD=6，求线段DE的长；

（Ⅱ）过点E作半圆O的切线，切线与AC相交于点F，证明：AF=EF．

正确答案

（Ⅰ）解：∵BD是直径，∴∠DEB=90°，

∴==，∵BD=6，∴BE=，

在Rt△BDE中，DE==．（5分）

（Ⅱ）证明：连结OE，

∵EF为切线，∴∠OEF=90°，

∴∠AEF+∠OEB=90°，

又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，

∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）

解析

（Ⅰ）解：∵BD是直径，∴∠DEB=90°，

∴==，∵BD=6，∴BE=，

在Rt△BDE中，DE==．（5分）

（Ⅱ）证明：连结OE，

∵EF为切线，∴∠OEF=90°，

∴∠AEF+∠OEB=90°，

又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，

∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC是圆内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点F，过点B圆的切线与CD的延长线交于点E．

（1）求证；∠EBD=∠CBD．

（2）若DE=2，DC=3，求边BC的长．

正确答案

（1）证明：∵BE是切线，由弦切角定理，∴∠EBD=∠DAB …（1分）

∵∠DAC，∠CBD是同弧上的圆周角，∴∠CBD=∠DAC …（2分）

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC …（3分）

∴∠EBD=∠CBD …（4分）

（2）解：∵BE是切线，由切割线定理，EB2=ED•EC=10，

∴EB=…（6分）

由弦切角定理，∠EBD=∠DCB …（7分）

∴由（1）知，∠EBD=∠CBD=∠DCB，∴DC=DB=3 …（8分）

∵∠BED=∠CED，

∴△BED∽△CEB …（10分）

∴，∴，

∴BC= …（12分）

解析

（1）证明：∵BE是切线，由弦切角定理，∴∠EBD=∠DAB …（1分）

∵∠DAC，∠CBD是同弧上的圆周角，∴∠CBD=∠DAC …（2分）

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC …（3分）

∴∠EBD=∠CBD …（4分）

（2）解：∵BE是切线，由切割线定理，EB2=ED•EC=10，

∴EB=…（6分）

由弦切角定理，∠EBD=∠DCB …（7分）

∴由（1）知，∠EBD=∠CBD=∠DCB，∴DC=DB=3 …（8分）

∵∠BED=∠CED，

∴△BED∽△CEB …（10分）

∴，∴，

∴BC= …（12分）

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．

（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；

（Ⅱ）AB2=BE•BD-AE•AC．

正确答案

解析

证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，

又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴∠DEA=∠DFA．

（Ⅱ）∵A、D、E、F四点共圆，

∴由切割线定理知BD•BE=BA•BF，

连结BC，则△ABC∽△AEF，

∴=，

∴AB•AF=AE•AC，

∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF

=AB（BF-AF）=AB2．

∴AB2=BE•BD-AE•AC．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙D和BC切于D，且与AB、AC相交于E、F，连结DF．

（I）求证：EF∥BC；

（II）求证：DF2=AF•BE．

正确答案

证明：（I）∵⊙O切BC于D，

∴∠CAD=∠CDF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠DAC，

又∠BAD=∠EFD，

∴∠EFD=∠CDF，

∴EF∥BC．

（II）连接DE，

∵⊙O切BC于D，∴∠BAD=∠BDE．

由（I）可得∠BDE=∠FAD，

又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED=∠DFA，

∴△BED∽△DFA．

∴．

又∵∠BAD=∠CAD，∴DE=DF，

∴DF2=AF•BE．

解析

证明：（I）∵⊙O切BC于D，

∴∠CAD=∠CDF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠DAC，

又∠BAD=∠EFD，

∴∠EFD=∠CDF，

∴EF∥BC．

（II）连接DE，

∵⊙O切BC于D，∴∠BAD=∠BDE．

由（I）可得∠BDE=∠FAD，

又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED=∠DFA，

∴△BED∽△DFA．

∴．

又∵∠BAD=∠CAD，∴DE=DF，

∴DF2=AF•BE．

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题型：填空题

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填空题

如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=______．

正确答案

解析

解：如图，∵A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，

C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，

∴OC=CA=1，OB=2，

∴BC=，

∴由相交弦定理得（2+1）•（2-1）=BC•CD，

∴CD=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=______．

正确答案

解析

解：∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°．

∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=9×1=9，解得AC=3．

∴．

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，若PB=OB=1，OD平分∠AOC，交圆O于点D，连接PD交圆O于点E，则PE的长等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，PB=OB=1，PA切圆O于点A，所以∠AOB=60°，

因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=60°，

所以∠POD=120°，

由余弦定理得，PD2=OD2+OP2-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-）=7，

所以PD=．

根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，

所以PE=

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O的两条弦AC，BD相交于点P，若AP=2，PC=1圆0的半径为3，则OP=______．

正确答案

解析

解：取AC的中点E，连接OE，则OE⊥AC，

设PE=x，则2-x=1+x，

∴x=，

∵圆0的半径为3，

∴OE=，

∴在△OPE中，OP==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如右图所示，PA为圆O的切线，切点为A，AC是直径，M为PA的中点，MC与圆交于点B．

求证：（I）PM2=MB•MC

（Ⅱ）∠MBP+∠ACP=．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵AM切圆于点A

∴AM2=MB•MC

又∵M为PA中点，AM=MP

∴MP2=MB•MC；

（Ⅱ）∵MP2=MB•MC，

∴=，

又∵∠BMP=∠PMC

∴△BMP∽△PMC（边角边）

∴∠MBP=∠MPC．

∵PA为圆O的切线，切点为A，AC是直径，

∴∠MBP+∠ACP=∠MPC+∠ACP=．

解析

证明：（Ⅰ）∵AM切圆于点A

∴AM2=MB•MC

又∵M为PA中点，AM=MP

∴MP2=MB•MC；

（Ⅱ）∵MP2=MB•MC，

∴=，

又∵∠BMP=∠PMC

∴△BMP∽△PMC（边角边）

∴∠MBP=∠MPC．

∵PA为圆O的切线，切点为A，AC是直径，

∴∠MBP+∠ACP=∠MPC+∠ACP=．

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题型：简答题

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简答题

PA，PC分别切⊙O于A，C，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，PB交CD于E，求证：ED=EC．

正确答案

证明：如图，过点B作BF⊥AB交PC的延长线于点F．

∵PA，PF，BF都与⊙O相切，

∴PA=PC，BF=CF．

又∵PA⊥AB，BF⊥AB，CD⊥AB，

∴PA∥CD∥BF．

∴．

∴ED=EC．

解析

证明：如图，过点B作BF⊥AB交PC的延长线于点F．

∵PA，PF，BF都与⊙O相切，

∴PA=PC，BF=CF．

又∵PA⊥AB，BF⊥AB，CD⊥AB，

∴PA∥CD∥BF．

∴．

∴ED=EC．

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题型：简答题

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简答题

选做题

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：

（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；

（Ⅱ）GH2=GE•GF．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，

∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．

∴C，D，F，E四点共圆．（5分）

（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．

由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．

∴△GCE∽△GFD．∴=，即GC•GD=GE•GF，

∴CH2=GE•GF．（10分）

解析

证明：（Ⅰ）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，

∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，

∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．

∴C，D，F，E四点共圆．（5分）

（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．

由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．

∴△GCE∽△GFD．∴=，即GC•GD=GE•GF，

∴CH2=GE•GF．（10分）

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）

如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为______．

正确答案

解析

解：由切割线定理可知，DC2=DB•DA，因为AB=5，CD=6，解得DB=4，

由余弦定理可知cos∠DBC==，

在△ABC中，AC2=BC2+AB2-2AB•BCcos∠ABC=9+25-2×3×5×=，

所以AC=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=2，PB=18，则EC=______．

正确答案

8

解析

解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=36，可得PA=6

∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，

∵△ADE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=6

∴BE=PB-PE=12，DE=PE-PD=4，

∵圆O中，弦AC、BD相交于E，

∴BE•DE=AE•CE，得12×4=6EC，解之得EC=8

故答案为：8

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．

（1）求DE的长；

（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．

正确答案

解：（1）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，

∴DH=HE，

DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，

∴DH=4，

∴DE=8

（2）PC切圆O于点C，

∴PC2=PD•PE，

即=PD•（PD+8），

∴PD=2．

解析

解：（1）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，

∴DH=HE，

DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，

∴DH=4，

∴DE=8

（2）PC切圆O于点C，

∴PC2=PD•PE，

即=PD•（PD+8），

∴PD=2．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

正确答案

解：∵直线PA切圆O于点A

∴MA2=MB•MC

又∵M为PA的中点，

∴MP2=MA2=MB•MC，可得

∵∠PMB=∠CMP

∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM

设∠BPM=∠PCM=α，则△CMP中，结合∠CMP=100°，∠BPC=40°，

得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°

解之得，α=20°

∴∠MPB的大小为20°．

解析

解：∵直线PA切圆O于点A

∴MA2=MB•MC

又∵M为PA的中点，

∴MP2=MA2=MB•MC，可得

∵∠PMB=∠CMP

∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM

设∠BPM=∠PCM=α，则△CMP中，结合∠CMP=100°，∠BPC=40°，

得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°

解之得，α=20°

∴∠MPB的大小为20°．

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