热门试卷

证明：（1）连接OC，∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA，

∵CA是∠BAF的角平分线，

∴∠OAC=∠FAC

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AD．…（3分）

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（5分）

（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．

∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC

∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，

∴AM•MB=DF•DA…（10分）

（1）证明：在△CEA和△CAD中，

∵弦CD⊥直径AB，

∴，

∴∠D=∠C，

又∵AE=EC，

∴∠CAE=∠C，

∴∠CAE=∠D，

∵∠C是公共角，

∴△CEA∽△CAD，

∴，

即CA2=CE•CD；

（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，

∴DE=2，

∴EF=DF-DE=0.5，

在Rt△AFE中，sin∠EAF==．

证明：（1）根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB

∵∠F=∠F，

∴△FDC∽△FBA，

∴∠CDF=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）

∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，

∴∠EDF=∠CDF；

（2）由（1）知∠ADB=∠ABC．

又∵∠BAD=∠FAB，

∴△ADB∽△ABF，∴=，

∴AB2=AF•AD．

证明：（1）连结AE，∵等腰△ABC的一条腰及底边中线分别与圆O相交于点A，D和E、F，圆O的切线FG与CE相交于点G，

∴∠EFC=90°，∠EAF=∠EFG，∠EAF=∠ECF，∴∠ECF=∠EFG，

∴∠ECF+∠CFG=∠CFG+∠EFG=90°，

∴FG⊥CE．

解：（2）设BD=k，则AD=3k，BC=4k，设BE=t，EF=2t，EG=FG=，

∵BD•BA=BE•BF，∴4k2=3t2，∴k=，AB=4×=2，

=，∴CE==，

∴FG：CE==．

解：（1）∵四边形ABCD的外接圆为圆O，

线段AB与线段DC的延长线交于点E，

由∠BCE=∠DAE，∠BEC=∠DEA，

∴△EBC∽△EDA，

∴，

∵=，BC=1，

∴BE=3；

（2）在△DAE中，AC为∠DAB的角平分线，

则=，即有AD•CE=AE•DC①

由于EA，ED是圆的两条割线，

则DE•CE=AE•BE②

①÷②，=，

由=，可得=，

由BE=λDC（λ∈R），

可得λ=3．

（Ⅰ）证明：∵AB为直径，

∴，，

∵，

∴PA⊥AB，

∵AB为直径，∴PA为圆的切线．…（4分）

（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，

∵AE•EB=CE•ED，∴m=k，

∵△AEC∽△DEB

△CEB∽△AED，

∴AB=10，．

在直角三角形ADB中，，

∵∠BCE=∠BAD，∴．…（10分）

证明：在△ABC中，因为BM是∠ABC的平分线，

所以．

又，所以．          ①…（4分）

因为CA与CB是圆O过同一点C的弦，

所以，CM•CA=CN•CB，即．   ②…（8分）

由①、②可知 ，

所以3CN=2AM．                              …（10分）

证明：连AC，AB．

因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．

又AH⊥PB，故AH2=CH•HB，即．…5分

因PA为圆O的切线，故∠PAC=∠B．

在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．

在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．

所以，∠HAC=∠B．

所以，∠PAC=∠CAH，

所以，，即．

所以，，即PA•AH=PC•HB．…10分．