- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
8
解析
解：
连接AC，DP=x，CD=6+x
∵AD=BD=4，
∴
∴∠ACD=∠DAB，
即∠DAB=∠ACD，
∵∠CDA=∠ADP，
∴△APD∽△CAD，
对应边成比例，
∴
化简计算得出：x2+6x-16=0，求解得出：x=2，x=-8（舍去）
∴x+6=2+6=8，
故答案为：8
如图，已知AB是⊙O的直径，TA是⊙O的切线，过A作弦AC∥BT，若AC=4，AT=2
正确答案
2
解析
∵AB是⊙O的直径，TA是⊙O的切线，过A作弦AC∥BT，
∴∠TAB=∠BCA，
∵AC∥BT，∴∠TBA=∠BAC
又∵∠TAB=∠BCA
∴△TAB∽△BCA
∴
设BC=x
∴在Rt△BCA中，AB2=x2+16
∴
∴x=2
则AB=2
故答案为：2
正确答案
∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=AB=
∴
∴PC2+3PC-10=0，
∴（PC-2）（PC+5）=0
∴PC=2或PC=-5（舍去）
故答案为：2．
解析
∴PA•PB=PC•PD，
∵PA=AB=
∴
∴PC2+3PC-10=0，
∴（PC-2）（PC+5）=0
∴PC=2或PC=-5（舍去）
故答案为：2．
正确答案
解：设圆半径为r，
∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，
∴PC•PD=PA•PB，
∵PC=6，CD=7
∴6（6+7
解得r=8，
∴AB=2r=16．
故答案为：16．
解析
解：设圆半径为r，
∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，
∴PC•PD=PA•PB，
∵PC=6，CD=7
∴6（6+7
解得r=8，
∴AB=2r=16．
故答案为：16．
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．
正确答案
证明：因AE=AC，AB为直径，
所以，弧EB与弧BC相等
由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等
故∠OAC=∠OAE． …（3分）
因为OA=OC
所以∠OAC=∠OCA
因为∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
因为EACD四点共圆
所以，∠EAC=∠PDE，
所以，∠PDE=∠POC．…（10分）
解析
证明：因AE=AC，AB为直径，
所以，弧EB与弧BC相等
由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等
故∠OAC=∠OAE． …（3分）
因为OA=OC
所以∠OAC=∠OCA
因为∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
因为EACD四点共圆
所以，∠EAC=∠PDE，
所以，∠PDE=∠POC．…（10分）
（1）求证：AE•BC=AC•BD；
（2）求BC•BE+AC•AD的值．
正确答案
∵∠AEC=∠ADB，∠ACE=∠BCD，
∴△AEC∽△BDC，
∴
∴AE•BC=AC•BD；
（2）解：由题意，∠AEC+∠AFC=180°，
∴A，F，C，E四点共圆，
∴BC•BE=BF•BA①，可得∠ADB=90°，
同理可得AC•AD=AF•AB②
联立①②，BC•BE+AC•AD=BF•BA+AF•AB=AB2=4．
解析
∵∠AEC=∠ADB，∠ACE=∠BCD，
∴△AEC∽△BDC，
∴
∴AE•BC=AC•BD；
（2）解：由题意，∠AEC+∠AFC=180°，
∴A，F，C，E四点共圆，
∴BC•BE=BF•BA①，可得∠ADB=90°，
同理可得AC•AD=AF•AB②
联立①②，BC•BE+AC•AD=BF•BA+AF•AB=AB2=4．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC2=BD•BE，
∵tan∠CED=
∵△BCD∽△BEC，∴
设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），
解得x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．
解析
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC2=BD•BE，
∵tan∠CED=
∵△BCD∽△BEC，∴
设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），
解得x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．
正确答案
3
解析
解：连接OC，如下图示：
∵∠AOC的度数=弧AC的度数，
∠EDC的度数=
∴∠AOC=∠EDC
∴∠POC=∠PDF
∴△POC∽△PDF
∴PD：PO=PF：PC，
即PF=
故答案为：3
A
Bπ
C
D2π
正确答案
解析
解：∵AC是小圆的直径．
所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点．
O′C=
∴BC=3，即BC=OB=OC．∴
则B、C两点的球面距离=
故选B．
正确答案
解析
解：由圆的切割线定理，得BD2=DC•DA，所以DC=
又△ABD∽△BCD，得
故答案为：
正确答案
解析
∵AB为⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=
∵PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PB，∠A=∠PBD，
∴OP=
∴PD=OP-OD=2，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2=∠1，
∴∠1=∠PBD，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PDB，
∴
∴PC=
∴BC=PB-PC=
故答案为：
A
B
C
D
正确答案
解析
则：G点坐标为（-3，4），PG⊥EF
∵PEF是以P为顶点的等腰三角形
∴PG就是角DPC的平分线
∴G就是圆弧CD的中点
∴OG⊥CD
∴∠DAO+∠GOA=90度．
而∠PGO+∠GOA=90度．
∴∠DAO=∠PGO
∴sin∠DAO=sin∠PGO=
AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为（ ）
A
B3
C
D2
正确答案
解析
则∠ACD=∠ABC，
又因为∠ADC=∠ACB=90°，
所以△ACD～△ACB，
所以 
解得AC=2
故选A．
正确答案
解析
解：连接BD、OD，如下图所示：
由已知中AB为圆O的直径，则∠ADB=90°
又∵CD为圆的切线，则CD2=CB•CA，即（2）2=CA，∴CA=4，
∴AB=3，得圆的半径r=
在直角△CDO中，则sin∠DCA=
故答案为：
如图
（Ⅰ）求证：AC2=AP•AD；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．
正确答案
（I）证明：连接BP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠APB，
∴△ABP∽△ABD
∴
∵AB=AC，
∴AC2=AP•AD
（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圆的直径，
∴BP=2，
∴AP=
在直角三角形PAB中，AB2=BP2-AP2=3，
∴AD=
解析
（I）证明：连接BP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠APB，
∴△ABP∽△ABD
∴
∵AB=AC，
∴AC2=AP•AD
（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=30°，
∴∠BAP=90°，
∴BP是圆的直径，
∴BP=2，
∴AP=
在直角三角形PAB中，AB2=BP2-AP2=3，
∴AD=
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