- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，已知⊙为△ABC的外接圆，AF切⊙O于点A，交△ABC的高CE的延长线于点F，BD⊥AC．证明：
（1）∠F=∠DBC；
（2）
正确答案
证明：（1）连接ED，则
∵AF切⊙O于点A，∴∠FAE=∠DCB
∵BD⊥AC，FE⊥AB
∴∠AEF=∠BDC=90″
∴∠F=∠DBC；
（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴D，E，B，C四点共圆
∴∠DEC=∠DBC
∵∠F=∠DBC
∴∠DEC=∠F
∴DE∥AF
∴
解析
证明：（1）连接ED，则
∵AF切⊙O于点A，∴∠FAE=∠DCB
∵BD⊥AC，FE⊥AB
∴∠AEF=∠BDC=90″
∴∠F=∠DBC；
（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴D，E，B，C四点共圆
∴∠DEC=∠DBC
∵∠F=∠DBC
∴∠DEC=∠F
∴DE∥AF
∴
正确答案
30°
解析
解：连接OA，则OA⊥PA．
∵PA是圆O的切线，
∴PA2=PB•PC，
∵PA=
∴PC=3，
∴PO=2，OA=1，
∴sin∠PAB=
∴∠PAB=30°．
故答案为：30°．
如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知
正确答案
设AE=x，
∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴AB是圆的直径，∠ACB=90°…（2分）
则EB=6-x，
即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5…（8分）
∴AC2=AE•AB=5×6=30，即
解析
设AE=x，
∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴AB是圆的直径，∠ACB=90°…（2分）
则EB=6-x，
即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5…（8分）
∴AC2=AE•AB=5×6=30，即
（1）点E是
（2）求证：PN2=PB•PC．
正确答案
∵四边形AEPB是⊙O1的内接四边形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O2中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E，
∴A，D，M，E四点共圆；
（2）连接AN、PN．
∵四边形ANPB是⊙O1的内接四边形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN2=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN2=PB•PC．
解析
∵四边形AEPB是⊙O1的内接四边形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O2中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E，
∴A，D，M，E四点共圆；
（2）连接AN、PN．
∵四边形ANPB是⊙O1的内接四边形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN2=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN2=PB•PC．
正确答案
30°
1
解析
解：由已知中AB为圆O的直径，则∠ADB=90°
∠A+∠ABD=90°…①
又∵CD为圆的切线，则∠BDC=∠A
又由DA=DC，可得∠A=∠C
∵∠ABD中三角形BCD的外角，
∴∠ABD=∠ADB+∠C=2∠A…②
结合①得：∠DAC=30°，
∴∠BDC=30°，
∵AB=2，∴BC=BD=1．
故答案为：30°，1．
正确答案
解析
解：∵DA、DC均为过圆外一点D的切线
∴DA=DC=2
又∵CD：DP=1：2，
∴DP=4，故有CP=6
在直角三角形DAP中，PA=
由线割线定理得PC2=PA•PB
解得PB=6
则AB=PB-PA=4
故答案为：4
正确答案
1
解析
解：
∴OB=
设MN=x，
∵CM•AM=BM•MN，
∴（
∴x=1，即MN=1．
故答案为：1．
正确答案
2
解析
解：连接AO，
则∠AOD=2∠B=60°，
∵OA=OC
∴△AOC是一个等边三角形，
∴OC=AC=2
故答案为：2
已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的切线互相垂直垂足为D，若∠BAC=35°，则∠CAD=______．
正确答案
35°
解析
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD；
又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠BAC=35°，
∴∠CAD=35°．
故答案为：35°．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若圆O的半径为1，求CF．
正确答案
∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，
∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，
∵OB=OD，∴BD=OD=OB，即△OBD是等边三角形
∴∠BOD=60°，
∴∠BOE=120°，
∴OE⊥CE，OB⊥AB，OB=OE，OC=OC，
∴由HL可得△OBC≌△OEC，
∴∠COE=60°，
∴CE=
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CE=
∴CD=
由切割线定理可得3=CF•
∴CF=
解析
∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，
∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，
∵OB=OD，∴BD=OD=OB，即△OBD是等边三角形
∴∠BOD=60°，
∴∠BOE=120°，
∴OE⊥CE，OB⊥AB，OB=OE，OC=OC，
∴由HL可得△OBC≌△OEC，
∴∠COE=60°，
∴CE=
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CE=
∴CD=
由切割线定理可得3=CF•
∴CF=
（1）如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD=______．
（2）在直角坐标系中，参数方程为
正确答案
解析
解：（1）由切割线定理得PC2=PB•PA=12，∴PC=2
连接OC，则OC=
（2）参数方程为
故答案为：
如图，D为△ABC的BC边上的一点，⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1、⊙O2交于点G．求证：
（1）∠BAC+∠EGF=180°；
（2）∠EAG=∠EFG．
正确答案
解：（1）连接GD，
∵四边形BDGE是圆内接四边形，
∴∠EGD+∠B=180°，同理可得∠FGD+∠C=180°，
∴∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，
∵∠EGD+∠FGD+∠EGF=360°，
∴∠B+∠C=∠EGF
∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC+∠EGF=180°．
（2）∵四边形AEGF中，∠BAC+∠EGF=180°．
∴四边形AEGF是圆内接内接四边形，
设外接圆为圆M，则圆M中∠EAG和∠EFG同对弧EG
∴∠EAG=∠EFG．
解析
解：（1）连接GD，
∵四边形BDGE是圆内接四边形，
∴∠EGD+∠B=180°，同理可得∠FGD+∠C=180°，
∴∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，
∵∠EGD+∠FGD+∠EGF=360°，
∴∠B+∠C=∠EGF
∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC+∠EGF=180°．
（2）∵四边形AEGF中，∠BAC+∠EGF=180°．
∴四边形AEGF是圆内接内接四边形，
设外接圆为圆M，则圆M中∠EAG和∠EFG同对弧EG
∴∠EAG=∠EFG．
正确答案
4
解析
解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即4×1=2×FC，FC=2，
在△ABD中，AF：AB=FC：BD，即4：5=2：BD，BD=2.5，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=2.52，x=
所以AF：AB=AC：AD，所以AC=4．
故答案为：4．
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=______．
正确答案
3
解析
解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，
又∵∠CPA=30°，R=3，
∴
∴
故答案为
正确答案
解析
解：连接NM并延长交圆于P，
∵MN⊥OM，即NP⊥OM，根据圆的相交弦定理，AM•MB=MN•NP，即2×4=MN2，MN=
故答案为：
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