热门试卷

证明：由切、割线定理，得BP2=BM•BA，CP2=CN•CA，…（5分）

∵BP=CP，∴BM•BA=2CN2，

∵CN=NA=2BM，BA=BM+AM，

∴BM（BM+AM）=8BM2，

∴AM=7BM，…（10分）

（Ⅰ）证明：因为DF是∠ADC的平分线，所以∠CDF=∠ADF，

因为CD是⊙O的切线，所以∠BCD=∠A，

所以∠CFD=∠A+∠ADF=∠BC+∠CDF=∠CEF，

所以CE=CF；

（Ⅱ）解：因为CD是⊙O的切线，ABD是⊙O的割线，

所以DC2=DB•DA，

所以36=DB（DB+5），

所以DB=4，

所以DA=DB+BA=9，

因为∠BCD=∠CAD，∠BDC=∠CDA，

所以△BCD∽△CAD，

所以，

所以，

所以AC=4.5．

证明：连接AG，AE、AF，因为AB垂直且平分CG，所以AG=AC，

由切割线定理得AG2=GE•GF①，（3分） 

由Rt△ABE∽Rt△FBA得到AB2=BE•BF②，（5分）

因为，所以AG2=2AB2③，（7分）  

由①②③得，GE•GF=2BE•BF．（10分）

（1）解：PE切圆O于点E

∴∠A=∠BEP

∵∠CPE=∠CPA，

∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE

∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE

∴∠ECD=∠EDC，

∴EC=ED=3

∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD

∴∠PDB=∠PCE

∵∠BPD=∠EPC

∴△PDB∽△PEC

∴，

∴BD=2，

由切割线定理可得PE2=PB•PA，

∴PA=9，

∴=；

（2）证明：∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD，

∴∠PDB=∠PCE，

∵∠BPD=∠EPC，

∴△PBD∽△PEC，

∴，

∵PE切圆O于点E，

∴∠A=∠BEP，

∵∠CPE=∠CPA，

∴△PDE∽△PCA，

∴=，

∴=．

（Ⅰ）证明：∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAE=∠CAD

∴△AEB∽△ACD；

∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC=∠EAD，

∴△AED∽△ABC；

（Ⅱ）解：∵△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，

∴，，

∴BE=，ED=，

两式相加可得BD=+==．

解：如图，作CE⊥AD于点E，

∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，

∴△AOC为正三角形，

∴∠CAO=60°，AC=OC，

∴∠CAE=30°，AC=CD，

又∵CE⊥AD，

∴AE=，

则AD=2AE=．

故答案为：．

（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，

∴∠PAC=∠ABC------------（2分）

∵∠PAC=∠BCD

∴∠ABC=∠BCD-----------（3分）

∴AB∥CD---------------（5分）

（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC

∴∠BAC=∠ACP-------------（7分）

∴△PAC∽△CBA-------------（9分）

∴==2------------------（10分）

解：（Ⅰ）∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB，

又∠P是公共角

∴△ABP∽△CAP

∴，

∵△ABC内接于直径为BC的圆O，sin∠ABC=，∴=2，

∵PA=10，

∴PB=5；

（Ⅱ）由切割线定理得：PA2=PB•PC∴PC=20

又PB=5，∴BC=15

又∵AD是∠BAC的平分线，∴==2

∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5

又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．