- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
解析
∴PC2=PA•PB=16，
∴PC=4，
∴圆的半径r=3，
连接OC．
∵OC=3，OP=5，
∴sin∠P=
∴CE=
∴CD=2CE=
故答案为：
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）求BE的值．
正确答案
（1）证明：由圆周角定理可知，∠ACE=∠ADB，
∵AD是圆O的直径，AE⊥BC，
∴∠ABD=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△ACE．
∴AB：AE=AD：AC，
∴AB•AC=AE•AD．
（2）解：∵AB=3，AC=2，AD=6，AB•AC=AE•AD
∴AE=1，CD=4
∴tan∠ADC=
∴tan∠ABE=
∴
∴BE=2
解析
（1）证明：由圆周角定理可知，∠ACE=∠ADB，
∵AD是圆O的直径，AE⊥BC，
∴∠ABD=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△ACE．
∴AB：AE=AD：AC，
∴AB•AC=AE•AD．
（2）解：∵AB=3，AC=2，AD=6，AB•AC=AE•AD
∴AE=1，CD=4
∴tan∠ADC=
∴tan∠ABE=
∴
∴BE=2
正确答案
∴OC⊥PC，
∵OC=2，OP=PA+AO=3，
在RT△OPC中，PC=
又∵弦CD⊥AB于点E，
∴PC2=PE•PO，即5=PE•3，
∴PE=
∴PC•CE=
解析
∴OC⊥PC，
∵OC=2，OP=PA+AO=3，
在RT△OPC中，PC=
又∵弦CD⊥AB于点E，
∴PC2=PE•PO，即5=PE•3，
∴PE=
∴PC•CE=
A7
B
C
D8
正确答案
解析
根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离，
∵PA=PB=4，即P为AB中点，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA=
∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即42=4PC2，可得PC=2，
因此，PD=4PC=8，得CD=10，
∴Rt△OMD中，DM=
可得OM=
故选：C．
正确答案
4
解析
解：∵AD是圆O的切线，∠B=30°
∴∠DAC=30°，
∴∠OAC=60°，
∴△AOC是一个等边三角形，
∴OA=OC=2，
在直角三角形AOD中，
OD=2AO=4，
故答案为：4．
（1）证明：AD⊥CD；
（2）求DF•DA的值及四边形ABCD的面积．
正确答案
（1）证明：如图所示．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=
∵∠DAB=
∴∠CAB=∠CAD=
∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=
∴∠CAD+∠ACD=
∴∠ADC=
∴AD⊥DC．
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=
∴AC=ABsin
在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3
由切割线定理可得：DF•DA=DC2=
AF=cos30°•AC=
∴S四边形ABCD=
解析
（1）证明：如图所示．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=
∵∠DAB=
∴∠CAB=∠CAD=
∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=
∴∠CAD+∠ACD=
∴∠ADC=
∴AD⊥DC．
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=
∴AC=ABsin
在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3
由切割线定理可得：DF•DA=DC2=
AF=cos30°•AC=
∴S四边形ABCD=
正确答案
3
解析
解：由题意，PA=AB=
∴
∴PA1=2，
∵PB•PC=PB1•PC1，
∴2
∴B1C1=3．
故答案为：3．
正确答案
30°
解析
解：连接DO，
∵PD为切线，PEF为割线，
∴由切割线定理得到PD2=PE•PF；
∵PD=4 
∴PE=
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD为切线，D为切点，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，
∴∠EFD=
在三角形DOF中FD=2
故答案为：30°；4
（Ⅰ）BF是⊙O的切线；
（Ⅱ）BE2=AE•DF．
正确答案
∵AD⊥AB，
∴BD是⊙O的直径，
∵AF=AE，
∴∠FBA=∠EBA，
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠C，
∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°，
∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°，
∴BF是⊙O的切线；
（2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，
∵AF=AE，BE=BF，
∴BE2=AE•DF．
解析
∵AD⊥AB，
∴BD是⊙O的直径，
∵AF=AE，
∴∠FBA=∠EBA，
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠C，
∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°，
∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°，
∴BF是⊙O的切线；
（2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，
∵AF=AE，BE=BF，
∴BE2=AE•DF．
正确答案
2 
解析
解：∵AC是圆O2的切线，
∴∠CAB=∠D，
又∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴AC2=BC•CD，AB=2，BD=3，BC=5，
∴AC2=40，
∴AD=
故答案为：2 
正确答案
3
解析
∠AOC与∠B同时对应着弧AC，
∴∠AOC=60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=1，
∵∠OAD=90°，∠D=30
∴AD=
∵AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M，N，
∴AD2=DM×DN=3．
故答案为：3
（1）求证：AD∥EC；
（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的长．
正确答案
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（2）解：设BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①，
∵AD∥EC，
∴
∴
由①②可得x=3，y=4（负数舍去）．
解析
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（2）解：设BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴xy=12①，
∵AD∥EC，
∴
∴
由①②可得x=3，y=4（负数舍去）．
CD=1，则AD=______；圆的直径为______．
正确答案
3
解析
解：∵过点B的切线交AC的延长线于点D，
∴BD2=DC•DA，
∵BD=
∴AD=3，
∵BC⊥AD，
∴AB为圆的直径，
∴AB⊥BD，
∴AB2=AC•AD=2•3，
∴AB=
故答案为：3；
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求线段BC的长．
正确答案
解：∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PD•PB，
∵PD=1，BD=8，∴PA2=1×9，解得PD=3．
∵∠ABC=60°，∴∠PAE=60°．
又∵PE=PA，∴△PAE是等边三角形．
∴AE=3，ED=PE-PD=2．
由相交弦定理可得：BE•ED=AE•EC，∴6×2=3×EC，解得EC=4．
在△BEC中，由余弦定理可得BC2=62+42-2×6×4cos60°=28．
∴BC=
解析
解：∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PD•PB，
∵PD=1，BD=8，∴PA2=1×9，解得PD=3．
∵∠ABC=60°，∴∠PAE=60°．
又∵PE=PA，∴△PAE是等边三角形．
∴AE=3，ED=PE-PD=2．
由相交弦定理可得：BE•ED=AE•EC，∴6×2=3×EC，解得EC=4．
在△BEC中，由余弦定理可得BC2=62+42-2×6×4cos60°=28．
∴BC=
如图，⊙O的割线PAB交圆O于点A和B，PA=6，AB=8，PO=10，求⊙O的半径
正确答案
根据割线定理，得PA•PB=PC•PD．
即（10-x）（10+x）=6×（6+8），100-x2=84，
x2=16，
x=±4（负值舍去）．
即圆的半径是4cm．
解析
根据割线定理，得PA•PB=PC•PD．
即（10-x）（10+x）=6×（6+8），100-x2=84，
x2=16，
x=±4（负值舍去）．
即圆的半径是4cm．
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