热门试卷

证明：∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADC=∠EBF，

∵EG平分∠AED，∴∠BEF=∠DEG，

∴∠EGD=∠EFB，

∵∠CFG=∠EFB，∠EGD=∠DGF，

∴∠CFG=∠DGF

（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，

∴EA为圆D的切线

依据切割线定理得EA2=EF•EC…（2分）

∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，

同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…（2分）

故AE=EB…（5分）

所以点E为AB的中点

（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC

又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC

所以…（10分）

证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；

（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，

∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD∽△FAB，

∴=，

∴AB2=AD•AF，

∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AF，

∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，

根据割线定理DF•AF=FC•FB，

∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

（1）证明：△ABC的周长，得到，

又因为：BF=BD，CF=CE，所以，

因为：AD=AE，所以．

所以．--------------（5分）

（2）解：设AF=x，则，，

所以，

因为⊙O的半径为1，得到，

所以AF2+FG2的最大值为5．--------------（10分）

（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，

∴△DHC∽△KDC，∴，

∴DC2=HC•CK，

又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）

（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，

∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，

∵圆的半径等于2

∴AH•AK=4…（10分）

解：连接AB，

∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠C

∵∠APB=∠CPA

∴△PAB∽△PCA

∴，

∴2R=AC==2

∴R=

故答案为：

证明：（I）∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，

∴DE∥BC，∴∠BGD=∠CFE，

∵BG=BD，∴∠BGD=∠BDG，

∴∠BDG=∠CFE．

∴CF∥AB．

（II）∵CF∥AB，BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形，

∴CF=BD．

∵D是AB的中点，∴CF=AD．

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴CD=AF，

∵CF∥AB，∴AF=BC，

∴CB=CD．

证明：（Ⅰ）由切割线定理得FG2=FA•FD．

又EF=FG，所以EF2=FA•FD，即=．

因为∠EFA=∠DFE，所以△FED∽△EAF．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED=∠FAE．

因为∠FAE=∠DAB=∠DCB，

所以∠FED=∠BCD，所以EF∥CB．…（10分）

（Ⅰ）证明：连接AD，BC．

因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，

故A，D，E，F四点共圆，

∴∠DEA=∠DFA；

（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，

所以△EFA∽△BCA，所以

所以AF×AB=AC×AE

设AF=a，则AB=3-a，所以a（3-a）=，所以a2-2a+1=0，解得a=1

所以AF的长为1．

证明：∵AM切圆于点A

∴AM2=MB•MC

又∵M为PA中点，AM=MP

∴MP2=MB•MC⇒

∵∠BMP=∠PMC

∴△BMP∽△PMC（边角边）

∴∠MCP=∠MPB．