热门试卷

证明：∵AC∥PB，

∴∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，

∴∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，

∴△KPE∽△KAP，

∴，

即KP2=KE•KA．

由切割线定理得KB2=KE•KA

∴KP=KB，

∵AC∥PB，△KPE∽△ACE，

于是，

故，

即PE•AC=CE•KB．

解：∵在圆O1中，AD、MN相交于点C，

∴根据相交弦定理，得AC•CD=MC•CN．

同理在圆O2中有BC•CE=MC•CN，

∴AC•CD=BC•CE…（5分）

即（AB+BC）•CD=BC•（CD+DE），

得AB•CD+BC•CD=BC•CD+BC•DE，

∴AB•CD=BC•DE …（10分）

证明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，

∴AB2=AD•AE，

∵AB=AC，

∴AD•AE=AC2．

（Ⅱ）由（Ⅱ）有，

∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，

∴∠ADC=∠ACE，

∵圆的内接四边形对角互补，

∴∠ADC=∠EGF，

∴∠EGF=∠ACE，

∴FG∥AC．

证明：（Ⅰ）∵BE是圆O的切线，

∴∠EBD=∠BAD=∠BCD，

∵BD是∠CBE的平分线，

∴∠CBD=∠BAD，

∴∠CAD=∠CBD=∠BAD，

∴AD是∠BAC的平分线；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABE∽△BDE，

∴，

在△BCD中，∠BCD=∠CBD，

∴BD=CD，

∴，

∴AB•BE=AE•CD．

（Ⅰ）解：∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠EDC=∠EBF，

又∵∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，

∴，∵，

∴．…（5分）

（Ⅱ）证明：∵EF∥CD，∴∠FEA=∠EDC，

又∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EBF，

又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，

∴，∴EF2=FA•FB…（10分）

（I）证明：∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠BDA．

∵AD是⊙O2的切线，∴∠ACB=∠DAB．

∴△ABC∽△DAB，∴．∴AB2=BC•BD．

（II）解：由（I）可得：△ABC∽△DAB，∴．∵AB=1，AC=2，AD=，∴BC==．

又∵AB2=BC•BD，∴=．由AD是⊙O2的切线，∴AD2=BD•DE，解得．

∴BE=．

解：（1）如图所示，连接OB．

∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥AE．

∵CD=4cm，AC=2cm，OC=OD=OB．

∴OB=OA，

∠A=30°，∠AOB=60°=2∠D．

又∵∠CFB=∠D，

∴∠CFB=30°．

（2）在△BOD中，由余弦定理可得：BD2=2OB2-2OB2cos120°==12，

∴BD=2．

解：因为A，M，D，N四点共圆，所以AC•CD=MC•CN．

同理，有BC•CE=MC•CN，所以AC•CD=BC•CE，

即（AB+BC）•CD=BC•（CD+CE），所以AB•CD=BC•DE．

设CD=x，则AB=AD-BC-CD=19-4-x=15-x，DE=BE-BC-CD=16-4-x=12-x，

所以（15-x）x=4（12-x），即x2-19x+48=0，解得x=3或x=16（舍）．

∴AE=AB+DE-BD=19+16-7=28．