热门试卷

证明：连接BD，

因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）

又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，

所以△EAD∽△DBA．              …（8分）

从而=，所以AD2=AB•ED． …（10分）

证明：因为PC为圆O的切线，

所以∠PCA=∠CBP，…（3分）

又∠CPA=∠CPB，

故△CAP∽△BCP，…（7分）

所以AC：BC=AP：PC，

即AP•BC=AC•CP．                                                …（10分）

（Ⅰ）证明：如图，连结AM，

由AB为直径可知∠AMB=90°，

又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，

因此A、E、F、M四点共圆．（4分）

（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，

所以BF•BM=BE•BA，（6分）

在RT△ABC中，BC2=BE•BA，（8分）

又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，

所以BC2=5，．（10分）

解：证连接CD，

∵∠CFD=90°，

∴CD为圆O的直径，

又AB切圆O于D，

∴CD⊥AB，

又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA

∴

又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE

∴

由（1）与（2）得

解：（I）由题设条件过OA的中点G作弦CE⊥AB于G，连接OC，OE，

知OG=OE=OC，故可得∠OCG=∠OEG=30°，所以∠COE=120°，

∠CDM=60°，由图知∠FDM=120°，

（II）由题设⊙O的直径长为4，M为OB的中点

故GM=2，OG=1，

在直角三角形OGE中，由勾股定理可以求得GE=，故EC=2

故可在直角三角形MGE中求得EM=

由此得sinE=，cosE=

又∠CDE=60°

故sinC=sin（E+600）=×+×=

由正弦定理得CD==

DE==

故△CED的面积为=

（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，

又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

从而∠PFA=∠BDA．

又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，

故AB为圆的直径．

（Ⅱ）解：连接BC，DC．

由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB=∠CBA．

又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．

∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，

∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，

∴DE=AB=5．

解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA=∠DBA，…（2分）

又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB=90°．

又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，

所以∠EDA=∠DBA，所以∠EDA=∠CDA．…（4分）

又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED．

所以AE=AC=4，所以AD=5，…（6分）

又=，所以BD=．…（10分）

解：（1）∵CA切圆O于A点，

由弦切角定理，

可得∠CAE=∠B

又∵CD为∠ACB的角平分线，

∴∠ACD=∠BCD

∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BCD

即∠ADF=∠AFD

又∵BE为圆O的直径

∴∠DAF=90°

∴∠ADF=45°

（2）若AB=AC，则∠CAE=∠B=∠ACB=30°

则=