- 函数的单调性及单调区间
- 共6469题
设f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有
（Ⅰ）当a＞b时，比较f（a）与f（b）的大小；
（Ⅱ）解不等式f（x-
（III）设P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c2）}且P∩Q=∅，求c的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）由f（x）是定义在[-1，1]上的函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有
可得：f（x）在[-1，1]上为单调增函数，
因为a＞b，所以，f（a）＞f（b）
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得：
所以不等式f（x-
（III）由题意得：P={x|-1≤x-c≤1}，Q={x|-1≤x-c2≤1}，
即P={x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|c2-1≤x≤c2+1}，
又因为P∩Q=∅，所以c+1＜c2-1或c2+1＜c-1，∴c＞2或c＜-1．
所以c的取值范围是{x|c＞2或c＜-1}．
下列说法正确的是______．（只填正确说法序号）
①若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x2-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
②y=
③若函数f（x）在（-∞，0]，[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数；
④y=
⑤函数y=log12(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）．
正确答案
①因集合A、B是数集，则A∩B也是数集，故①不对；
②、由x-3≥0且2-x≥0解得，x∈∅，则不满足函数的定义中两个非空数集，故②不对；
③、函数的单调区间不能并在一起，如y=-
（-∞，0）∪（0，+∞），故③不对；
④、由
⑤、由x2-2x-3＞0解得，x＞3或x＜-1，则函数的定义域是（-∞，-1）∪（3，+∞），故⑤不对．
故答案为：④．
给出下列四个命题：
（1）函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
（2）函数y=x3与y=3x的值域相同；
（3）函数f(x)=
（4）函数y=
其中正确命题的序号是______（把你认为正确的命题序号都填上）．
正确答案
（1）函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域都为R，故正确；
（2）函数y=x3的值域为R，而y=3x＞0，则值域不相同，故错误；
（3）根据根式函数的性质可知函数y=5+4x-x2≥0⇒x∈[-1，5]，在此区间上，函数f(x)=
（4）这两个函数的定义域都为R，且：
∵f（x）=y=
而g（x）=y=lg(x+
故答案为：（1）（4）．
已知A={2，3}，B={x|x2+ax+b=0}，A∩B={2}，A∪B=A，求a+b的值．
正确答案
∵A∩B={2}，∴2∈B
而A∪B=A，A={2，3}，
∴B⊆A
∴B={2}或{2，3}，
当B={2}时，a=-4，b=4，a+b=0
当B={2，3}时，a=-5，b=6，a+b=1
∴a+b=0或1
已知函数f(x)=
（1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（2）函数g（x）=log2f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且CRB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
f(x)=
任取x1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(1-
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又x1，x2∈（-2，+∞），∴x1+2＞0，x2+2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
（2）∵f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
∴f（x）在区间[-5，-3]上为增函数．
∵g（x）=log2f（x），∴g（x）在区间[-5，-3]上为增函数，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵CRB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=ϕ，则a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠ϕ时，
综上所述：a∈(-∞，
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