- 函数的单调性及单调区间
- 共6469题
对于函数f（x）=lg|x-2|+1，有如下三个命题：
①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；
③f（x+2）-f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
其中正确命题的序号是______．（将你认为正确的命题序号都填上）
正确答案
∵f（x）=lg|x-2|+1，
∴f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1是偶函数，
故①正确；
∵f（x）=lg|x-2|+1=
∴f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，
故②正确；
∵f（x）=lg|x-2|+1，
f（x+2）=lg|x+2-2|+1=lg|x|+1，
∴f（x+2）-f（x）=lg|x|-lg|x-2|=lg|
故③不正确．
故答案为①，②．
下列四个命题：
①定义在R上的函数f（x）满足f（-2）=f（2），则f（x）不是奇函数；
②定义在R上的函数f（x）恒满足f（-x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数；
③一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个；
④设函数f（x）=ln（x+
其中为真命题的序号有______（填上所有真命题的序号）
正确答案
对于①，给出函数y=x3-4x，满足f（-2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明③是假命题；
对于②，由f（-x）=|f（x）|≥0得f（-x）≥0对于任意x成立，则x取-x也成立即f（x）≥0，则f（-x）=f（x），∴f（x）一定是偶函数，该命题是真命题；
对于③，函数的解析式为y=x2，它的值域为{0，1，4}，定义域可以为{0，1，2}，{0，1，-2}，{0，-1，2}，{0，-1，-2}，{0，-1，1，2}，{0，-1，1，2}，{0，1，-2，2}，{0，-1，-2，2}，{0，-1，1，-2，2}共9个，故这样的不同函数共有9个，该命题是真命题；
对于④，函数g（x）=ln（x+
故答案为：②③④
给出定义：若m-
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-
则其中真命题是______．
正确答案
①中，令x=m+a，a∈（-
∴f（x）=x-{x}=a∈（-
所以①正确；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-
f（-
x=
f（ 
所以f（-
所以④错误．
故答案为：①③．
已知函数f(x)=
①函数f（x）的最小值是0；
②函数f（x）在R上是单调递减函数；
③若f（x）＞1，则x＜-1；
④若函数y=f（x）-a有三个零点，则a的取值范围是0＜a＜1；
⑤函数y=|f（x）|关于直线x=1对称．
其中正确命题的序号是______．（填上你认为所有正确命题的序号）．
正确答案
由于函数f(x)=
则当x≤0时，图象是由y=(
当x＞0时，图象是开口向下，对称轴为x=1且最大值为1的二次函数图象．如图示
由图知，显然①②为假命题，
③由于x＞0时，y=-x2+2x≤1，故f（x）＞1，即是(
④由于函数y=f（x）-a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a满足
由图知，f（x）极小值=0，f（x）极大值=1，故实数a的范围是0＜a＜1；
⑤由于函数f(x)=
故答案为 ③④．
设p：f（x）=（x2-4）（x-a）在（-∞，-2）和（2，+∞）上是单调增函数；q：不等式x2-2x＞a的解集为R．如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．
正确答案
命题p：由原式得f（x）=x3-ax2-4x+4a，
∴f′（x）=3x2-2ax-4，
y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线．
由条件得f′（-2）≥0且f′（2）≥0，
即
命题q：x2-2x=（x-1）2-1＞a
∵该不等式的解集为R，∴a＜-1．
当p正确q不正确时，-1≤a≤2；
当p不正确q正确时，a＜-2．
∴a的取值范围是（-∞，-2）∪[-1，2]．
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