- 函数的单调性及单调区间
- 共6469题
以下四个命题
①定义在R上的函数f（x）满足f（2）＜f（3），则函数f（x）在R上不是单调减函数．
②若A={1，4}，B={1，-1，2，-2}，f：x→x7的平方根．则f是A到B的映射．
③将函数f（x）=2-x的图象向右平移两个单位向下平移一个单位后，得到的图象对应的函数为g（x）=2-x-2-1
④关于x13的方程|2x-1|=a（a为常数），当a＞0时方程必有两个不同的实数解．
其中正确的命题序号为______（以序号作答）
正确答案
定义在R上的函数f（x）满足f（2）＜f（3），则函数f（x）在R上一定不是单调减函数，故①成立；
若A={1，4}，B={1，-1，2，-2}，f：x→x的平方根．则f是A到B的映射，故②成立；
将函数f（x）=2-x的图象向右平移两个单位向下平移一个单位后，得到的图象对应的函数为g（x）=2-x+2-1，故③不成立；
关于x的方程|2x-1|=a（a为常数），当0＜a＜1时方程必有两个不同的实数解，故④不成立．
故正确答案为：①②．
已知f（x+199）=4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为______．
正确答案
由y=4x2+4x+3=4(x+
1
2
)2+2，立即求得f（x）的最小值即f（x+199）的最小值是2．
故答案是2
设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），
∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
在
由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，
解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，
在
且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）min=f（3）=﹣33
﹣33≥m2﹣14m，3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，则f（x）的解析式为 ______．
正确答案
∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，
∴二次函数图象开口向下，且其顶点坐标是（2，12），且x=0，与x=4是其两个零点，
故可设f（x）=a（x-2）2+12
将点（0，0） 代入得0=4a+12，解得a=-3
故函数f（x））=-3（x-2）2+12
故答案为f（x））=-3（x-2）2+12．
已知f（x）是定义域在R上的函数，且有下列三个性质：
①函数图象的对称轴是x=1；
②在（-∞，0）上是减函数；
③有最小值是-3；
请写出上述三个条件都满足的一个函数 ______．
正确答案
根据题目的条件可知二次函数满足三个性质
∵在（-∞，0）上是减函数
∴二次函数的图象开口向上
又对称轴为x=1
故设二次函数的解析式为y=（x-1）2+m
又∵有最小值是-3
∴m=-3，故答案为y=（x-1）2-3
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