- 函数的单调性及单调区间
- 共6469题
某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．
（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
正确答案
（1）设投资为x万元，A、B两产品获得的利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得
∴
（2）设对B产品投资x万元，则对A产品投资（10﹣x）万元
记企业获取的利润为y万元，则
设
∴
当
答：对B产品投资
已知函数y=log2
（1）当x=423时，求y的值．
（2）令t=log2x，求y关于t的函数关系式．
（3）求该函数的值域．
正确答案
（1）x=423=243时，log2x=
∴y=log2
=（log2x-log24）•（log2x-log22）
=（log2x-2）•（log2x-1）
=-
（2）若t=log2x，（2≤x≤4）
则1≤t≤2，
则y=log2
=（log2x-2）•（log2x-1）
=（t-2）•（t-1）
=t2-3t+2（1≤t≤2）
（3）∵y=t2-3t+2的图象是开口朝上，且以t=
又∵1≤t≤2
∴当t=
当t=1或2时，ymax=0
故函数的值域是[-
（1）f（x）为一次函数，且f[f（x）]=2x-1，求函数f（x）的解析式．
（2）若函f（x）=lg（ax2-2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a2x+ab+b=2x-1
∴a2=2且ab+b=-1，解得a=
∴f（x）=
（2）∵函数f（x）=lg（ax2-2x+1）的定义域为R，
∴ax2-2x+1＞0恒成立
当a=0时，显然不成立
当a≠0时，
解得a＞1
综上所述a的取值范围（1，+∞）
设函数
（1）求函数y=f（2x）的定义域；
（2）用函数单调性的定义证明
正确答案
（1）由2x≤1，得x≤
所以，y=f（2x）的定义域为(-∞，
（2）证明：任取x1，x2∈（-∞，1]，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=
=
所以，f（x）在定义域（-∞，1]上为减函数．
已知函数f（x）=mx2+nx+3m+n是偶函数，且其定义域为[m-1，2m]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值．
正确答案
（1）∵函数f（x）=mx2+nx+3m+n是偶函数，
∴函数的定义值关于原点对称，
又∵函数f（x）的定义域为[m-1，2m]．
∴m-1+2m=0，解得m=
又由f（-x）=mx2-nx+3m+n=f（x）=mx2+nx+3m+n
可得n=0
（2）由（1）得函数的解析式为：f（x）=
其图象是开口方向朝上，且以Y轴为对称轴的抛物线
当x=±
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