平行线分线段成比例定理_章节学习

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．已知CD=，BC=，则AD=（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，

∴∠BDC=∠CBA，∠A=∠CDB，

∴△ADC∽△CDB，

∴=，

∵CD=，BC=，

∴DB=2，AD=1，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　　）

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4

∴BC=3

∵△ABC∽△BDC

∴

∴CD=．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1

（1）证明：AC平分∠BAD；

（2）求BC的长．

正确答案

证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）

∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）

∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA

故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）

解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，（8分）

连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，

∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC

∴，

故．（10分）

解析

证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，（2分）

∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，（4分）

∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA

故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（6分）

解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，（8分）

连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，

∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC

∴，

故．（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交与B，且AB=AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°

（1）求AF的长；

（2）求证：AD=3ED．

正确答案

解析

（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，

∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴BC=2，

又∵AB=，∴AB=，∴AC=3，

根据切割线定理得AF2=AB•AC=9，即AF=3；

（2）证明：过E作EH⊥BC于H，

∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，

∴△EDH∽△ADF，

∴，

又由题意知CH=BC=，EB=2，

∴EH=1，∴，

∴AD=3ED．

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．

（1）证明：E是BC的中点；

（2）证明：AD•AC=AE•AF．

正确答案

证明：（Ⅰ）证明：连接BD，

因为AB为⊙O的直径，

所以BD⊥AC，又∠B=90°，

所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，

因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，

所以∠CDE=∠C，

得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点

（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，

可得△ABE∽△AAFB，

于是有，即AB2=AE•AF，

同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF

解析

证明：（Ⅰ）证明：连接BD，

因为AB为⊙O的直径，

所以BD⊥AC，又∠B=90°，

所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，

因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，

所以∠CDE=∠C，

得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点

（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，

可得△ABE∽△AAFB，

于是有，即AB2=AE•AF，

同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF

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题型：简答题

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简答题

已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．

（Ⅰ）求∠BAE 的度数；

（Ⅱ）求证：CD2=BD•EC．

正确答案

证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，

因为AE为圆O的切线，

所以∠EBA=∠EAC

因为∠E公用，

所以∠EAB=∠ECA，

因为△ADC为正三角形，

所以∠BAE=∠ECA=120°；

（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，

所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．

所以=，即AD•CA=BD•EC．

因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，

所以CD2=BD•EC．

解析

证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，

因为AE为圆O的切线，

所以∠EBA=∠EAC

因为∠E公用，

所以∠EAB=∠ECA，

因为△ADC为正三角形，

所以∠BAE=∠ECA=120°；

（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，

所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．

所以=，即AD•CA=BD•EC．

因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，

所以CD2=BD•EC．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．

（I）求证：CD2-DE2=AE×EC；

（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

正确答案

解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，

∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，

∴△BCD∽△CED，

∴=，

∴CD2=DE×DB，

∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，

∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）

（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，

∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，

∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）

解析

解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，

∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，

∴△BCD∽△CED，

∴=，

∴CD2=DE×DB，

∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，

∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）

（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，

∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，

∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）

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题型：单选题

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单选题

如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（　　）

A∠B=∠C

B∠ADC=∠AEB

CBE=CD，AB=AC

DAD：AC=AE：AB

正确答案

C

解析

解：∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB，

又∠A公用，∴△ABE∽△ACD．

因此下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是：C．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC=2：3，则sin∠ACP的值为 ______．

正确答案

解析

解：如图，连接BC，

由已知条件得，△PAC∽△PBC，于是 ==，

设AC=2k，BC=3k，由∠ACB=90°得，AB=，

∴sin∠ACP=sin∠ABC===．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AD上一点，且满足∠BDE=2∠CED=∠BAC．求证：BD=2CD．

正确答案

证明：作DO∥AB交AC于O．

则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠A=2∠CED，

所以O为△EDC的外心，

取F为△EDC的外接圆与AC的交点，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．

所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．

再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，

所以△ADO∽△ABE，即得．

故AF=OD=OC=CF，从而AO=2OC．

由DO∥AB得：BD=2CD．

解析

证明：作DO∥AB交AC于O．

则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠A=2∠CED，

所以O为△EDC的外心，

取F为△EDC的外接圆与AC的交点，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．

所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．

再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，

所以△ADO∽△ABE，即得．

故AF=OD=OC=CF，从而AO=2OC．

由DO∥AB得：BD=2CD．

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