- 平行线分线段成比例定理
- 共439题
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，建立直角坐标系．
设E（x，y），
∴（x-1，y-
∴
∴E（
∵AC、AE、AB成等比数列，
∴AE2=AC•AB，
∴（
化为3λ2-6λ-2=0，（λ＞0）
解得λ=
∴
故选：A．
（1）求证：
（2）若
正确答案
∴DM=EM，
∵PQ∥BD，
∴
同理
①+②得
（2）解：∵
∴
∴
解析
∴DM=EM，
∵PQ∥BD，
∴
同理
①+②得
（2）解：∵
∴
∴
正确答案
证：连接EC，在△ABD和△AEC中，
∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，
∴△ABD～△AEC，
∴AD•AE=AC•AB．
解析
证：连接EC，在△ABD和△AEC中，
∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，
∴△ABD～△AEC，
∴AD•AE=AC•AB．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．
正确答案
∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，
又AB为直径，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC．（5分）
（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴
∴AD•OC=AB•OB=8．（10分）
解析
∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，
又AB为直径，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC．（5分）
（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴
∴AD•OC=AB•OB=8．（10分）
正确答案
证明：连接BC，设AD为x，ED为r，大圆的半径是R
在大圆中用射影定理与勾股定理，BD•AD=CD2，和AD2+CD2=AC2，
得x•（2R-x）+x2=AC2得2Rx=AC2．
在△ONE中用勾股定理得（r+x-R）2+r2=（R-r）2，
∴（r+x）2=2Rx
又AE=r+x，
∴AE2=AC2，
∴AC=AE．
解析
证明：连接BC，设AD为x，ED为r，大圆的半径是R
在大圆中用射影定理与勾股定理，BD•AD=CD2，和AD2+CD2=AC2，
得x•（2R-x）+x2=AC2得2Rx=AC2．
在△ONE中用勾股定理得（r+x-R）2+r2=（R-r）2，
∴（r+x）2=2Rx
又AE=r+x，
∴AE2=AC2，
∴AC=AE．
已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（2）在图3的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
正确答案
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
∴△∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（2）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．
解析
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
∴△∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（2）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．
如图，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则
正确答案
解析
解：∵△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，
∴△ABC的面积S=S△ADE+SDBCE=9a2．
∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，其相似比为
又∵
故答案为：
（1）求证：O，C，D，F四点共圆；
（2）求证：PF•PO=PA•PB．
正确答案
因为
又因为∠CDE=
则∠AOC=∠CDE，
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，
所以PD•DC=PA•PB，…（7分）
因为O，C，D，F四点共圆，
所以∠PDF=∠POC，
又因为∠DPF=∠OPC，
则△PDF∽△POC，
所以
则PF•PO=PA•PB．…（10分）
解析
因为
又因为∠CDE=
则∠AOC=∠CDE，
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，
所以PD•DC=PA•PB，…（7分）
因为O，C，D，F四点共圆，
所以∠PDF=∠POC，
又因为∠DPF=∠OPC，
则△PDF∽△POC，
所以
则PF•PO=PA•PB．…（10分）
正确答案
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE
又∵BD=CE
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD=∠CBE
∵∠BDA=∠MDB（公共角）
∴△BDM∽△ADB
∴BD：AD=DM：DB
∴BD2=AD×DM
解析
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE
又∵BD=CE
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD=∠CBE
∵∠BDA=∠MDB（公共角）
∴△BDM∽△ADB
∴BD：AD=DM：DB
∴BD2=AD×DM
正确答案
解析
解：依题意，AE=1，AB=3，得
因△BEA∽△CFA得
所以EC=7，
所以
故答案为：
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