热门试卷

证明：因为PA与圆相切于A，所以DA2=DB•DC，

因为D为PA中点，所以DP=DA，

所以DP2=DB•DC，即． …（5分）

因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，

所以∠DPB=∠DCP．     …（10分）

证明：（I）如图所示，

∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，

∴，

又BC=2EF，

∴DE=EF．

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴CF∥AB．

（II）∵CF∥AB，∴BC=AF．

由四边形ADCF是平行四边形，∴CD=AF．∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵FG∥BC，∴∠BGD=∠CFD．

∵CF∥AB，∴∠BDG=∠CFD．

∴∠CBD=∠BDG=∠CDB=∠DGB．

∴△BCD∽△DBG．

证明：∵PA是圆O在点A处的切线，

∴∠PAB=∠C．

∵PD∥AC，

∴∠EDB=∠C，

∴∠PAE=∠PAB=∠C=∠BDE．

又∵∠PEA=∠BED，

∴△PAE∽△BDE．

解：（1）连接CD，如下图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B

又由∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，

∴△ABE∽△CDE，

∴BE：CE=AE：DE，

∴BE•DE=CE•AE

∴BE•DE+AC•CE=CE2（3分）

（2）∵△ABE∽△CDE，

∴∠EDC=∠FDB，

∴∠EDF=∠CDB，（6分）

（3）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ECB=90°，

取EB的中点H，连接FH，CH

∴CH=BE，

同理，FH=BE，

所以，E，F，C，B到点H的距离相等，

∴E，F，C，B四点共圆．（10分）

证明：连接BE（如图）

∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，

∴△ACD∽△AEB，

∴．

∴AB•AC=AD•AE．

证明：过A作直线l∥BC，延长DF、DE分别交l于P、Q．

于是有，．…（5分）

又，

所以，所以AP=AQ．

所以Rt△ADP≌Rt△ADQ，

从而∠EDH=∠FDH．…（15分）