平行线分线段成比例定理
共439题

平行线分线段成比例定理
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题型：填空题

填空题

如图，CD、BE是△ABC的高，且相交于点F．若BF=FE，且FC=4FD=4，则FE=______，∠A=______．

正确答案

60°

解析

解：∵∠BDF=∠CEF，∠BFD=∠CFE，

∴△BDF∽△CEF，

∴=，

∴EF2=4DF，即EF=2DF=FC=1，

∴∠DCA=30°，

∴∠A=60°，

故答案为：2，60°．

题型：填空题

填空题

已知PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，AB=7，PT=12，BT=8，如图所示，则PB=______；AT=______．

正确答案

解析

解：设PB=x，则由切割线定理得：PT2=PB•PA

即122=x（x+7）

∴x2+7x-144=0

∴（x+16）（x-9）=0

解得：x=9，x=-16（舍）．

根据切割线定理知△PBT∽△PTA，

∴，

∵PT=12，BT=8，PB=9，

∴AT=，

故答案为：9；

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB•CD=AD•PC．求证：

（Ⅰ）△ABD∽△CPD；

（Ⅱ）AE∥BP．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD=∠DCP．

又AB•CD=AD•PC，

∴．

∴△ABD∽△CPD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．

又AE为切线，AD为弦，

∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．

∴AE∥BP．

解析

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD=∠DCP．

又AB•CD=AD•PC，

∴．

∴△ABD∽△CPD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．

又AE为切线，AD为弦，

∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．

∴AE∥BP．

题型：简答题

简答题

【选修4-1：几何证明选讲】

已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．

（1）求证：FA∥BE；

（2）求证：；

（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．

正确答案

解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，

∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．

又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．

∴FA∥BE．

（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．

∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得

∵AB=AC，

∴，变形整理可得．

（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，

∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），

∵PF=AB=AC=2，

∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±

∵CP＞0，∴CP=．

∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°

由（2）中的结论，得，

∴在Rt△FAP中，tan∠F==．

解析

解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，

∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．

又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．

∴FA∥BE．

（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．

∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得

∵AB=AC，

∴，变形整理可得．

（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，

∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），

∵PF=AB=AC=2，

∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±

∵CP＞0，∴CP=．

∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°

由（2）中的结论，得，

∴在Rt△FAP中，tan∠F==．

题型：简答题

简答题

已知：如图，点B是AD的中点，点E是AB的中点，AB=AC．求证：CE=CD．

正确答案

证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，

∴，．

在△ACE与△ADC中，

，∠A公用，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∴．

解析

证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，

∴，．

在△ACE与△ADC中，

，∠A公用，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∴．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选作题）两个相似三角形的一组对应边的长分别是1cm和2cm，它们的面积的和为25cm2，则较大三角形的面积是______．

正确答案

20cm2

解析

解：设较大三角形的面积是xcm2，

根据题意得：x：（25-x）=4：1，

解得：x=20，

∴较大三角形的面积是20cm2．

故答案为：20cm2．

题型：简答题

简答题

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，且BC=CD．

（1）求证：△CFD≌△CEB；

（2）若AB=21，AD=9．求AE的长．

正确答案

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F

∴CE=CF，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∵CE=CF，BC=CD，

∴△CFD≌△CEB （HL）．（3分）

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴Rt△ACE≌Rt△ACF，

∴AF=AE，（2分）

∵AB=15，AD=7，

∴AD+DF=AB-EB，

∴EB=DF=4，（2分）

∴AE=AF=AD+DF=11．

解析

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F

∴CE=CF，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∵CE=CF，BC=CD，

∴△CFD≌△CEB （HL）．（3分）

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴Rt△ACE≌Rt△ACF，

∴AF=AE，（2分）

∵AB=15，AD=7，

∴AD+DF=AB-EB，

∴EB=DF=4，（2分）

∴AE=AF=AD+DF=11．

题型：简答题

简答题

选修4-1几何证明选讲

如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：AC•BD=AD•AB．

正确答案

证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴，

∴AC•BD=AD•AB．

解析

证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴，

∴AC•BD=AD•AB．

题型：简答题

简答题

如图△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D、E．

（1）指出图中相似的三角形，并说明理由；

（2）若EC=4，DE=2，求AD的长．

正确答案

解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．

又∠B与∠AEC都对应，∴∠B=∠AEC．

又∠ADB=∠CDE．

∴△ABD∽△AEC∽△CED．

（2）∵△AEC∽△CED，∴，

∴，解得AE=8．

∴AD=AE-DE=8-2=6．

解析

解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．

又∠B与∠AEC都对应，∴∠B=∠AEC．

又∠ADB=∠CDE．

∴△ABD∽△AEC∽△CED．

（2）∵△AEC∽△CED，∴，

∴，解得AE=8．

∴AD=AE-DE=8-2=6．

题型：简答题

简答题

选修4一1：几何证明选讲

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，，DE交AB于点F．

（Ⅰ）证明：DF•EF=OF•FP；

（Ⅱ）当AB=2BP时，证明：OF=BF．

正确答案

.（I）证明：因为，∴∠AOE=∠CDE，∴∠EOF=∠PDF，

又∠EFO=∠PFD，

∴△OFE∽△PFD，∴，

∴DF•EF=OF•FP；

（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，

由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，

∴AF•BF=OF•FP，

∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．

解析

.（I）证明：因为，∴∠AOE=∠CDE，∴∠EOF=∠PDF，

又∠EFO=∠PFD，

∴△OFE∽△PFD，∴，

∴DF•EF=OF•FP；

（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，

由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，

∴AF•BF=OF•FP，

∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．

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