热门试卷

证明：（1）连接BE，

因为AE是直径，所以AB⊥BE，

又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，

所以Rt△ABE∽Rt△ADC．

∴，∴AB•AC=AE•AD．

（2）连接CE，则CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．

∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H为△ABC的垂心．

CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH

所以四边形BECH为平行四边形，∴CH=BE．

∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．

又O为AE的中点．∴OP=BE，∴OP=CH．

∴CH=2OP．

（1）证明：连接CD，则

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAD，=，

∵DE是圆O的切线，

∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．

∵∠DCE是四边形ABCD的外角，

∴∠DCE=∠ABD，

∴△ABD∽△DCE，

∴=．

（2）解：∵=，BD=3，

∴BD=CD=3，∠CBD=∠BCD，

∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，

∴∠CDE=∠CBD，DE2=EC•EA=16，

∴DE=4，

∴∠CDE=∠BCD，

∴DE∥BC，

∴∠E=∠ACB=∠ADB，

∴△DCE∽△BFD，

∴，

∴BF==．

证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．

∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．

∴∠ACB=∠DAB，

又∵∠ABC=∠DBA，

∴△ABC∽△DAB．

∴．

∴AB2=BD•BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．

∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，

∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．

∴点A、B、D、F共圆．

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，解得k=-1，

则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，∴△BDO≌△CDO，可得∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，可得∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，可得△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；

（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，可得===2，得FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，可得OE=FH=2，EF=OH=4-OD，

∵DE=EF，∴2+OD=4-OD，解得OD=，∴点D的坐标为（0，），

∴直线CD的解析式为y=x+，

由得：，

则点P的坐标为（2，2）；

当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEB=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得△BOD∽△FGB，∴===，FG=8，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，得OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，∴8-OD=4+2OD，OD=，解得点D的坐标为（0，-），

直线CD的解析式为：y=-x-，

由得：，∴点P的坐标为（8，-4），

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．

解：（Ⅰ）证明：设CF与AE交于点G，连接DG，如图；

∵=，∴=，又△CDE∽△DBE，

∴=．于是有=，

注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，

∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四点共圆．从而有∠AGC=∠ADC=90°，

∴CF⊥AE．

（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，

BC=5，DE=，

∴EF=，由CD2=CE•CB，知CE=，

∴tan∠ECF=．又tan∠DCB=，∴tan∠DCF==．

故tan∠BAE=．

证明：∵EF∥CB，

∴∠BCD=∠FED，

又∠BAD与∠BCD是所对应的圆周角，

∴∠BAD=∠BCD

∴∠BAD=∠FED，

又∠EFD=∠EFD，

∴△DEF∽△EAF．