热门试卷

解：（1）如图，连接BD、OD

∵CB、CD是⊙O的两条切线

∴BD⊥OC，

∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径，

∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3，

∴AD∥OC 。

（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3

∴Rt△BAD∽Rt△ODC，

∴AD·OC=AB·OD=2。

（1）证明：如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切线。

（2）解：∵ED是直径，

∴∠ECD=90°，

∴∠E+∠EDC=90° ，

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E，

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC，

∴，∴BC2=BD·BE，

∵tan∠CED=，∴，

∵△BCD∽△BEC，

∴，

设BD=x，则BC=2，

又BC2=BD·BE，

∴（2x）2=x·（x+6），解得：x1=0，x2=2，

∵BD=x＞0，∴BD=2，

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5。

证明：(1)连结AD，因为AB为圆的直径，

所以∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°，

则A、D、E、F四点共圆，

∴∠DEA=∠DFA；

(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF，

又△ABC∽△AEF，

∴，即AB·AF=AE·AC，

∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。

解：(Ⅰ)∵AD∥BC，

∴，

又PC与圆O相切，

∴，

∴，∴，

∴，即。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，∴。

证明：△CAP∽△ADP，①

△CBP∽△BDP，②

又AP=BP，③

由①②③知：，故。

（1）证明：∵BD ∥MN，

∴，

又∵MN为圆的切线，

∴，则， 

∴∠DCN=∠CAD，

，

∴，

∴，

又，

∴，

∴AE=AD。

（2）解：且AE=AD，    

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=BC=4，    

设AE=x，易证，

又，

所以。

解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM；  

∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，

又∠B=∠A=∠DME=α，    

∴∠AMF=∠BGM，

∴△AMF∽△BGM。

（2）由（1）△AMF∽△BGM，，，  

∠α=45°，    

∴△ABC为等腰直角三角形，

AB= ，AC=BC=4，CF=AC－AF=1，CG=4－，    

。

（Ⅰ）证明：连接BP，

∵AB2=AP·AD，

∴，

又∵∠BAD=∠PAB，

∴△ABD∽△APB，

∴∠ABC=∠APB，

∵∠ACB=∠APB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC，

∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵P为弧AC的中点，

∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，

∴∠BAP=90°，

∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，

∴，

在Rt△PAB中，由勾股定理得，

∴。

解：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD

∴∠GBC=∠FDB，

又∠GBC=∠CEB

∴∠CEB=∠FDB

又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角

∴△BCE∽△BDF

∴

即BE·BF=BC·BD。