热门试卷

（1）证明：如图1．

∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，∴BF=DF，DH=BH．

∴∠1=∠2．

又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，

∴∠A=∠2．

∴BF∥AC．

（2）证明：取FD的中点N，连接HM，HN．

∵H是BD的中点，N是FD的中点，∴HN∥BF．

由（1）得BF∥AC，∴HN∥AC，即HN∥EM．

∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，

∴HM=AC=AM．

∴∠A=∠3，

∴∠EDA=∠3，

∴NE∥HM，

∴四边形ENHM是平行四边形，

∴HN=EM．

∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，

∴HN=DF，即DF=2HN，

∴DF=2EM．

（3）解：当AB=BC时，在未添加辅助线和其他字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．

证明：连接CD．（如图3）

∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴BC=CD，∠ABC=∠5．

∵AB=BC，

∴∠ABC=180°-2∠A，AB=CD．①

∵∠EDA=∠A，

∴∠6=180°-2∠A，AE=DE．②

∴∠ABC=∠6=∠5．

∵∠BDE是△ADE的外角，

∴∠BDE=∠A+∠6．

∵∠BDE=∠4+∠5，

∴∠A=∠4．③

由①，②，③得△ABE≌△DCE．

∴BE=CE．

由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．

由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．

∴∠CFE=∠ECF．∴EF=CE．

∴BE=EF．

∴BE=EF=CE．

解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=4，BD=2，AB=，

∴OB2+OC2=AB2=7，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形．

（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAC′=∠BAB′

∴∠ACC′=∠ABB′

又∠AEC=∠FEB，

∴△ACE∽△FBE

（2）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．

在△ACC′中，∵AC=AC′，∴

在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，

∴∠BCE=α∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．

解：∵△ABC中，A的外角平分线交BC的延长线于D，

∴AB：AC=BD：DC

∵AB：AC=2：1，

∴BD：DC=2：1．

解：如图所示，取AC的中点O，连接OE，OF，则OE∥AD，OF∥CD，

∴=2，

∴===，

∴AG=AO．

同理CH=CO，

∴AG=CH，

∴△AGD和△DHC的面积比为1：1．

证明：（1）∵EF∥BC∥AD，

∴，，，

∴，

∴EP=PF．

（2）∵EF∥BC，

∴，

∵EP=PF，

∴BG=GC，

同理可得AH=HD．

∴OG平分AD和BC．

证明：（1）∵∠BAE=∠CAE，∠DCA=∠BEA，

∴△ABE∽△ADC；

（2）∵△ABE∽△ADC，

∴=，

即AB•AC=AD•AE．

又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，

故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．

则sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

∴∠BAC=90°