平行线分线段成比例定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD．

（2）若AB=4，∠1=30°，AD=3，求BF的长．

正确答案

解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，

又∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA

∴∠BFA=∠ADE，∴△ABF∽△EAD．

（2）在Rt△ABE中，∠1=30°，

由正弦定理得：=，

∴AE==，

又=，∴BF=•AD=．

解析

解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，

又∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA

∴∠BFA=∠ADE，∴△ABF∽△EAD．

（2）在Rt△ABE中，∠1=30°，

由正弦定理得：=，

∴AE==，

又=，∴BF=•AD=．

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，设AD与BE相交于G，求证：AG：GD=BG：GE=2：1．

正确答案

证明：连接DE，

∵D，E分别是BC，AC的中点，

∴DE∥AB，DE=AB

∴△DEG∽△ABG，

∴AG：GD=BG：GE=AB：DE=2：1

解析

证明：连接DE，

∵D，E分别是BC，AC的中点，

∴DE∥AB，DE=AB

∴△DEG∽△ABG，

∴AG：GD=BG：GE=AB：DE=2：1

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题型：简答题

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简答题

如图所示，PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．

（Ⅰ）求证：=；

（Ⅱ）求AC的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACP=∠PAB，

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，

∴=．…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．

又∵PA=10，PB=5，

∴PC=20，BC=5…（7分）

由（Ⅰ）知，==，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴AC==6 …（10分）

解析

（Ⅰ）证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACP=∠PAB，

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，

∴=．…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．

又∵PA=10，PB=5，

∴PC=20，BC=5…（7分）

由（Ⅰ）知，==，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴AC==6 …（10分）

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）

平行四边形ABCD中，BC=12，E、F为BD的三等分点，连结AE并延长交BC于M，连结MF并延长交AD于N，则DN______．

正确答案

3

解析

解：由E、F为BD的三等分点，可得DE=2BE，且BF=2DF．

∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴=，

可得BM=AD=BC=6．

又∵，∴DN=BM=3

故答案为：3

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题型：简答题

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简答题

已知，在Rt△ABC中，CD为斜边上的高，CE平分∠BCD，交AB于点E．求证：AE2=AD•AB．

正确答案

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，

∵∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，

∵∠CEA=∠BCE+∠B，（三角形外角等于不相邻二内角和），∠ACE=∠ACD+∠DCE，

∴∠ACE=∠CEA，

∴△ACE是等腰三角形，

∴AC=AE，

∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠DAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，

∴AC2=AD•AB，

∴AE2=AD•AB．

解析

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，

∵∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，

∵∠CEA=∠BCE+∠B，（三角形外角等于不相邻二内角和），∠ACE=∠ACD+∠DCE，

∴∠ACE=∠CEA，

∴△ACE是等腰三角形，

∴AC=AE，

∵∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠DAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，

∴AC2=AD•AB，

∴AE2=AD•AB．

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题型：填空题

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填空题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为______．

正确答案

7：5

解析

解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，

∴EF是梯形的中位线，

设两个梯形的高是h，

∴梯形ABFE的面积是，

梯形EFCD的面积

∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，

故答案为：7：5

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．

（1）在△ABC中，AB=______；

（2）当x=______时，矩形PMCN的周长是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

正确答案

解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．

∴AB==10

（2）若AP=x，则MC=PN=，MP=CN=

则矩形PMCN的周长为16-

又∵矩形PMCN的周长是14

∴x=5

（3）∵AP=x，

∴△PAM的面积S△PAM=x2，

△PBN的面积S△PBN=（10-x）2，

矩形PMCN的面积SPMCN=x（10-x）

若S△PAM=S△PBN，则x2=（10-x）2，解得，x=5；

若S△PAM=SPMCN，则x2=2x（10-x），即x=，

故不存在x的值，使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等

解析

解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．

∴AB==10

（2）若AP=x，则MC=PN=，MP=CN=

则矩形PMCN的周长为16-

又∵矩形PMCN的周长是14

∴x=5

（3）∵AP=x，

∴△PAM的面积S△PAM=x2，

△PBN的面积S△PBN=（10-x）2，

矩形PMCN的面积SPMCN=x（10-x）

若S△PAM=S△PBN，则x2=（10-x）2，解得，x=5；

若S△PAM=SPMCN，则x2=2x（10-x），即x=，

故不存在x的值，使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等

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题型：简答题

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简答题

如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．

（1）证明：DA平分∠BDE；

（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．

正确答案

（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠ADB=∠ADE．

∴DA平分∠BDE．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∴，化为BD=2AD．

∴∠ABD=30°．

∴∠DAE=30°．

∴DE=AEtan30°=．

由切割线定理可得：AE2=DE•CE，

∴，

解得CD=．

解析

（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠ADB=∠ADE．

∴DA平分∠BDE．

（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∴，化为BD=2AD．

∴∠ABD=30°．

∴∠DAE=30°．

∴DE=AEtan30°=．

由切割线定理可得：AE2=DE•CE，

∴，

解得CD=．

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB为圆O的直径，点P为AO的中点，CD为过P的任一条弦，则的取值范围为______．

正确答案

（1，3）

解析

解：设圆的半径为2，则AP=1，PB=3，由相交弦定理可知AP•PB=CP•PD=3．

===，PD∈（AP，PB），即PD∈（1，3）．

∴∈（1，3）．

故答案为：（1，3）．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=120°，且D，E是边AB上的两点，满足BD=BC，AE=AC，试求△CDE的面积．

正确答案

解：∵△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=120°，

∴由余弦定理可得AB==7，

∵BD=BC，AE=AC，

∴DE=1，

设C到AB的距离为h，则，∴h=，

∴△CDE的面积为=．

解析

解：∵△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=120°，

∴由余弦定理可得AB==7，

∵BD=BC，AE=AC，

∴DE=1，

设C到AB的距离为h，则，∴h=，

∴△CDE的面积为=．

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正确答案

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