热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型:简答题
|
简答题 · 13 分

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB。

(1)求PA的长;

(2)求二面角B-AF-D的正弦值。

正确答案

(1) ; (2)

解析

(1)

如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD。以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CD=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3,又OD=CD,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)。

因PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,F.

=(,3,-z),

因AF⊥PB,故·=0,

即6-=0,(舍去),

所以||=.

(2)由(1)知=(,3,0),=(,3,0),=(0,2,),设平面FAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),

n1·=0,n1·=0,得

因此可取n1=(3,,-2)。

n2·=0,n2·=0,

故可取n2=(3,,2)。

从而法向量n1n2的夹角的余弦值为

cos〈n1n2〉=

故二面角B-AF-D的正弦值为

知识点

空间点、线、面的位置用空间向量求平面间的夹角二面角的平面角及求法
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

如图,在直三棱柱中,分别是的中点.

(1)求异面直线所成角的大小;

(2)求点到平面之间的距离.

正确答案

(1)(2)

解析

(1)设的中点为,连接,则,且,所以或其补角即为异面直线所成的角。

连接ME,在中,

所以异面直线所成的角为

(2)

以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,如图建立空间直角坐标系,则:

设平面的一个法向量为

所以平面的一个法向量为. …10分

所以点到平面的距离.

知识点

异面直线及其所成的角空间点、线、面的位置
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点

(1)求点C到平面A1ABB1的距离;

(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1

故CD⊥平面A1ABB1

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

(2)解法一:如图1,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1

又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥D1D,所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角,因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影,又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A,因此AA1:AD=A1B1:AA1,即AA12=AD•A1B1=8,得AA1=2,从而A1D==2,所以Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1===

解法二:如图2,过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,有DB,DC,DD1两两垂直,以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h,则A(﹣2,0,0),A1(﹣2,0,h),B1(2,0,h),C(0,,0),C1(0,,h),从而=(4,0,h),=(2,,﹣h)

由AB1⊥A1C,可得8﹣h2=0,h=2,故=(﹣2,0,2),=(0,0,2),=(0,,0)

设平面A1CD的法向量为=(x1,y1,z1),则有

=0且=0,即,取z1=1,则=(,0,1)

设平面C1CD的法向量为=(x2,y2,z2),则,即=0,取x2=1,得=(1,0,0),

所以cos<>===,所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

知识点

线面角和二面角的求法空间点、线、面的位置
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。

(1)当平面A1DE⊥平面BCD时,求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值;

(2)设M为线段A1C的中点,求证:在△ADE翻转过程中,BM的长度为定值。

正确答案

见解析。

解析

解:

(1)过A1作A1F⊥DE,由已知可得A1F⊥平面BCD,且F为DE中点,以D为原点,DC、DA所在直线为轴建立空间直角坐标系,则

求得平面CEA1的一个法向量为,得

所以,直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为

(2)取A1D中点G,连结MG,EG,由MG∥EB,且MG=EB,可得BMGE为平行四边形,所以,BM=EG,而三角形ADE中,EG的长度为定值,所以,BM的长度为定值。

知识点

线面角和二面角的求法空间点、线、面的位置
1
题型:填空题
|
填空题 · 5 分

16.用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,半径为1的鸡蛋(视为球体)放入 其 中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为______。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

球的体积和表面积空间点、线、面的位置
下一知识点 : 直线的方向向量
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 空间点、线、面的位置

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/5
  • 下一题