异面直线的判定
共23题

· 异面直线的判定

异面直线的判定
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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.

21.证明：

22.求二面角余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.

解题思路

（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.

易错点

找不到线面平行和线线平行的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.

设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.

考查方向

1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.

解题思路

因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.

易错点

找不到二面角的平面角,计算能力弱.

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，高为3的直三棱柱中，底面是直三角形，，为的中点，在线段上，，且．

22.求证：平面；

23.求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

考查方向

直线与平面垂直的判定

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等。

（1）求证：直线垂直于直线；

（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？

正确答案

（1）略；

（2）；

解析

（1）如图，连接交于点，则为线段中点，

在正方形中，对角线

在中，，

，平面

（2）边长为3米

解直角三角形SOB，得棱锥的高

立方米

答：需要立方米填充材料.

考查方向

本题考查了空间直线与平面的位置关系，棱锥体积的计算。

解题思路

1、空间关系的判断与证明通常需要直线与直线，直线与平面，平面与平面三种关系相互转换，本题可以先把线线关系转化为线面关系，再转为线线关系求证。

2、解决正棱锥有关问题通常要研究底边，侧棱，高，斜高，底面外接圆半径，内切圆半径组成的四个直角三角形。本题可以由侧棱，底面外接圆半径和高组成的直角三角形入手求解。

易错点

注意搭建正四棱锥不仅有四条侧棱，含有四条底边。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线的判定

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下一知识点 : 空间中直线与直线之间的位置关系

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