热门试卷

因为，由已知，所以，得.所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，

即，故实数的取值范围是.

等价于.

令，则，

再令，则，

因为，所以，所以在上是增函数，

所以，所以，所以在上是增函数，

所以时，，故.

令，则，

因为，所以，所以，所以在上是减函数.

所以时，，

所以，即.

（1）：当时， ，，

记过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，

则切线L斜率为 切线方程为

又切线过（0，0），所以

，切线方程为 ，

为偶函数，图像关于y轴对称，

∴当时，设过原点与相切的直线方程为

 即

（2）因为任意，都有，故x=1时，

当时，，从而，∴

当时，，从而，

∴ ，综上  ，

又整数，即，故，故x=m时，

得：， 即存在，满足

∴  ，即，

令，，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，，

由此可见，方程在区间上有唯一解，

且当时，当时，

，故，此时.

下面证明：对任意恒成立，

①当时，即，等价于，

，∴，

②当时，即，等价于

令，则，在上递减，在上递增，

∴，而，

综上所述，对任意恒成立。

当时，，欲使即恒成立，

只要满足对恒成立即可.

对于，即令则所以函数在内单调递增，在内单调递减.而所以.

对于即,令,

则令则

所以在内单调递减,则从而

所以在内单调递减,则且当时,,所以.

综上所述可得:.

下面用数学归纳法证明

(1)当时,,所以所以,当时命题成立

(2)假设时命题成立,即要证明时命题成立,即证明

只需证明即证明     由当时,易证,所以所以函数在区间上为增函数. 可证明函数在上为增函数,

由归纳假设得所以

若则必有,故现在证明

构造函数则

,易证,所以函数在上为增函数,

故即则

由‚及题意知，即.

综合知:对任意的都有成立

试题分析： 本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅰ）因为 ，所以 ，所以

又点在切线上，所以，所以

所以的解析式为.

试题分析： 本题属于导数的综合应用，考查考生转化与化归数学思想与方法。

（Ⅱ）令

因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以所以等价于.

我们如果能够证明，即即可证明目标成立.

下面证明：对任意，.

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得.

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；

所以.由得[

所以.

令，则

所以在区间内单调递减，所以

所以.

综上，对任意，.

（1）因 为，且，则

①当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；

②当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，

∴函数的最小值为，得．

③当时，，函数在上单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾．

综上所述，的值为．

（2）要证，即证，

当时，，

令，则，

当时，, 递增；当时，, 递减，

∴在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，∴，

∴在上是增函数，∴当 时，为增函数，

故，故． [来源:学科网ZXXK]

令，则

∵, ∴，∴，即在上是减函数，

∴时，，所以，即，

所以．

（Ⅰ）

 上是减函数

（Ⅱ），即的最小值大于.

令，则上单调递增,

又 ，存在唯一实根, 且满足

，

当时，当时，

∴，故正整数的最大值是3

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴-

令, 则

∴

∴

，

若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，

则，即有，∴2a+1>2>1，…………………2

则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1；由f(x)<0得1<x<2a+1。

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（2a+1,+），单调递减区间为(1,2a+1)。……5

∵，∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。

不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，，

∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)<，

即，对任意的，x1，x2[1,2]恒成立。……7

令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1,2]有g(x1)<g(x2)恒成立，

∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，

∴对任意的，x[1,2]恒成立。……………………9

而，

化简得，

即≥0，其中。

∵[1,2]，，只需，

即对任意x[1,2]恒成立，

令，x[1,2]，恒成立，

∴在闭区间[1,2]上为减函数，

则。由，解得。……12