- 不等式与函数的综合问题
- 共21题
函数,若曲线
在点
处的切线与直线
垂直(其中
为自
然对数的底数).
25.若在
上存在极
值,求实数
的取值范围;
26.求证:当时,
.
正确答案
;
解析
因为,由已知
,所以
,得
.所以
,
,当
时,
,
为增函数,当
时,
,
为减函数.所以
是函数
的极大值点,又
在
上存在极值,所以
,
即,故实数
的取值范围是
.
考查方向
解题思路
第一问由切线与直线垂直得到切线斜率,再用导数的几何意义求出
,通过对
讨论,得到它存在极值的范围,找到
的取值范围;
正确答案
略;
解析
等价于
.
令,则
,
再令,则
,
因为,所以
,所以
在
上是增函数,
所以,所以
,所以
在
上是增函数,
所以时,
,故
.
令,
则
,
因为,所以
,所以
,所以
在
上是减函数.
所以时,
,
所以,即
.
考查方向
解题思路
第二问现将不等式等级变形,构造新函数,对新函数用导函数求最值
已知定义在R上的偶函数,当
时,
.
25.当时,求过原点与函数
图像相切的直线的方程;
26.求最大的整数,使得存在
,只要
,就有
.
正确答案
(1)
解析
(1):当时,
,
,
记过原点与相切的直线为L,设切点坐标为
,
则切线L斜率为 切线方程为
又切线过(0,0),所以
,切线方程为
,
为偶函数,图像关于y轴对称,
∴当时,设过原点与
相切的直线
方程为
即
考查方向
解题思路
先设切点后利用导数的几何意义求出切点坐标后即得切线方程;
易错点
没有给出切点导致无法入手;
正确答案
(2)4
解析
(2)因为任意,都有
,故x=1时,
当时,
,从而
,∴
当时,
,从而
,
∴ ,综上
,
又整数,即
,故
,故x=m时,
得:, 即存在
,满足
∴ ,即
,
令,
,则
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
又,
,
,
由此可见,方程在区间
上有唯一解
,
且当时
,当
时
,
,故
,此时
.
下面证明:对任意
恒成立,
①当时,即
,等价于
,
,∴
,
②当时,即
,等价于
令,则
,
在
上递减,在
上递增,
∴,而
,
综上所述,对任意
恒成立。
考查方向
解题思路
先探求出m的值后证明。
易错点
对于题中给的信息无法处理导致没有思路。
已知函数.
25.若时,
恒成立,求
的取值范围;
26.若时,令
求证:
正确答案
m=0
解析
当时,
,欲使
即
恒成
立,
只要满足对
恒成立即可.
对于,即
令
则
所以函数
在
内单调递增,在
内单调递减.而
所以
.
对于即
,令
,
则令
则
所以在
内单调递减,则
从而
所以在
内单调递减,则
且当
时,
,所以
.
综上所述可得:.
考查方向
解题思路
利用条件,将不等式恒成立问题转化成只要满足对
恒成立,构造新函数,利用导数解决函数的最值,从而证明不等式恒成立
易错点
利用导数在处理单调区间及分类讨论上容易出错;
正确答案
证明见解析
解析
下面用数学归纳法证明
(1)当时,
,所以
所以,当
时命题成立
(2)假设时命题成立,即
要证明
时命题成立,即证明
只需证明即证明
由
当
时,易证
,所以
所以函数
在区间
上为增函数. 可证明函数
在
上为增函数,
由归纳假设得
所以
若则必有
,故现在证明
构造函数则
,易证
,
所以函数
在
上为增函数,
故即
则
由‚及题意知,即
.
综合知:对任意的
都有
成立
考查方向
解题思路
用分析法,从结论入手,考虑由于与正整数有关,可以用数学归纳法证明,在证明假设n=k,将转化为
所以考虑从函数的导数切入,函数f(x)在区间(1.+
)上为增函数.利用题中假设,由归纳假设
得
所以
若
则必有
,故现在证明
原函数易证在(1,+
为增函数,再由题中的假设,再构造新函数
得到
通过推理得出
,综上得证。
易错点
不容易考虑到用数学归纳法证明
设函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
25.求的解析式;
26.证明:.
正确答案
(1)的解析式为
;
解析
试题分析: 本题属于导数的综合应用,考查考生转化与化归数学思想与方法。
(Ⅰ)因为 ,所以
,所
以
又点在切线
上,所以
,所以
所以的解析式为
.
考查方向
解题思路
(1)利用导数解决曲线的切线问题,从而解出a,b的值
(2)通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。
易错点
不等式证明如何构造新函数
正确答案
(2)对任意,
.
解析
试题分析: 本题属于导数的综合应用,考查考生转化与化归数学思想与方法。
(Ⅱ)令
因为所以当
时,
所以在区间
内单调递减,所以
所以
等价于
.
我们如果能够证明,即
即可证明目标成立.
下面证明:对任意,
.
由(1)知,令
则,所以
在
内单调递增,
又,
,所以存在
使得
.
当时,
即
,此时
单调递减;
当时,
即
,此时
单调递增;
所以.由
得
[
所以.
令,则
所以在区间
内单调递减,所以
所以.
综上,对任意,
.
考查方向
解题思路
(1)利用导数解决曲线的切线问题,从而解出a,b的值
(2)通过构造新函数的方法找到证明不等式的突破口。
易错点
不等式证明如何构造新函数
已知函数f (x)= +lnx.
25.若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值;
26.当a=1时,设F(x)=f(x)+1+,求证:当x>l时,
.
正确答案
(1);
解析
(1)因 为,且
,则
①当时,
,函数
单调递增,其最小值为
,这与函数在
上的最小值是
相矛盾;
②当时,函数
在
上有
,单调递减,在
上有
,单调递增,
∴函数的最小值为
,得
.
③当时,
,函数
在
上单调递减,其最小值为
,与最小值是
相矛盾.
综上所述,的值为
.
考查方向
解题思路
(1)先对函数进行求导,再对参数进行分类讨论探讨函数的单调性从而研究其最小值及此时a的值 ;(2)通过灵活变形构造新函数的方法证明不等式。
易错点
对参数的分类讨论研究函数的最值。
正确答案
(2)当x>l时,
解析
(2)要证,即证
,
当时,
,
令,则
,
当时,
,
递增;当
时,
,
递减,
∴在
处取得唯一的极小值,即为最小值,即
,∴
,
∴在
上是增函数,∴当
时,
为增函数,
故,故
. [来源:学科网ZXXK]
令,则
∵, ∴
,∴
,即
在
上是减函数,
∴时,
,所以
,即
,
所以.
考查方向
解题思路
(1)先对函数进行求导,再对参数进行分类讨论探讨函数的单调性从而研究其最小值及此时a的值 ;(2)通过灵活变形构造新函数的方法证明不等式。
易错点
对参数的分类讨论研究函数的最值。
12. 定义在上的奇函数
在区间
上单调递减,且
,则不等式
的解集为 .
正确答案
解析
由奇函数在区间
上单调递减,所以函数
在区间
上也单调递减,且
。
(1)当即
时,不等式
可化为
,而
,所以
成立,
符合题意。
(2)当即
时,不等式
可化为
,所以
。
(3)当即
时,
①当时,不等式
可化为
,所以
。
②当时,不等式
可化为
,所以
符合题意。
③当时,不等式
可化为
,所以
与
取交集为
。
综上可知,的解集合为
。
考查方向
解题思路
1.先利用奇函数求出函数在对称的区间上的单调性;
2.根据x的范围不同分类求出x的解后取并集。
易错点
1.不会奇函数在对称的区间上单调性相同这个结论;
2.分类讨论时不全或重复。
知识点
已知函数.
27. 判断函数在
上的单调性;
28. 若恒成立, 求整数
的最大值;
29.求证:.
正确答案
(1)上是减函数;
解析
(Ⅰ)
上是减函数
考查方向
解题思路
直接求导后判断出后即可得到答案;
易错点
导后的函数不会变形为,导致不会判断其正负;
正确答案
3;
解析
(Ⅱ),即
的最小值大于
.
令,则
上单调递增,
又 ,
存在唯一实根
, 且满足
,
当时,
当
时,
∴,故正整数
的最大值是3
考查方向
解题思路
先分离参数后变为,下面求函数
的最小值即可;
易错点
无
正确答案
(3)略
解析
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,∴
-
令, 则
∴
∴
考查方向
解题思路
根据第(2)问放缩,然后构造题中给出的不等式即可。
易错点
不会利用放缩法得到,进而导致没有思路求第(3)问。
已知函数.
25.若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0,求
的单调区间;
26.对任意的,
,恒有
,求正数
的取值范围。
正确答案
递增区间为(0,1),(2a+1,+),单调递减区间为(1,2a+1)
解析
,
若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0,
则,即有
,∴2a+1>2>1,…………………2
则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1;由f
(x)<0得1<x<2a+1。
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(2a+1,+),单调递减区间为(1,2a+1)。……5
考查方向
解题思路
通过求导,将单调递减区间转成导数正负问题;
易错点
存在性与恒成立的区别
正确答案
解析
∵,∴(2a+1)
[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。
不妨设1≤x1<x2≤2,则f(x1)>f(x2),,
∴原不等式即为:f(x1)-f(x2)<,
即,对任意的
,x1,x2
[1,2]恒成立。……7
令g(x)=f(x)-,∴对任意的
,x1,x2
[1,2]有g(x
1)<g(x2)恒成立,
∴g(x)=f(x)-在闭区间[1,2]上为增函数,
∴对任意的
,x
[1,2]恒成立。……………………9
而,
化简得,
即≥0,其中
。
∵[1,2],
,只需
,
即对任意x
[1,2]恒成立,
令,x
[1,2],
恒成立,
∴在闭区间[1,2]上为减函数,
则。由
,解得
。……12
考查方向
解题思路
本题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.
易错点
构造函数,及讨论问题的全面性。处理逻辑推理与运算求解能力方面易出错。思路不清晰,步骤不严谨
若定义在R上的减函数,对任意的
,不等式
成立,则当
时,
的取值范围是( )
正确答案
解析
由在
上单调递减结合
得出
,即
再结合
得出可行域为
(如图
为
轴,
为
轴),所以
表示的是点
与点
连线的斜率,当在点
时达到最大值
,在点
时达到最小值
,故所求的取值范围是
。故选C选项。
考查方向
解题思路
由函数的单调性结合不等式得出,对其进行因式分解画出可行域,再由可行域求出
的取值范围。
易错点
本题易在上的处理上导致解题受阻。
知识点
12.已知是定义域,值域都为
的函数,
满足
,则下列不等式正确的是( )
正确答案
知识点
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