裂项相消法求和
共32题

· 裂项相消法求和

裂项相消法求和
共32题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

在数列中，为常数，，且成公比不等

于1的等比数列。

（1）求的值；

（2）设，求数列的前项和

正确答案

见解析。

解析

（1）∵为常数，∴.

∴.

又成等比数列，∴，解得或.

当时，不合题意，舍去. ∴.

（2）由（1）知，.

∴

知识点

裂项相消法求和等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.

（1）求，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，求证数列的前项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵点都在函数的图象上，

∴，

又，∴.

（2）由（1）知，，

当时，

由（1）知，满足上式，

所以数列的通项公式为.

（3）由（2）得

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足：

。

（1）求和；

（2）记数列，若的前项和为，求证。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，，所以，所以；

又，所以，

得，所以。

（2）因为，所以

而，所以。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设。

（1）求；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）求使成立的最小正整数的值。

正确答案

见解析

解析

（1）由及当时

故

（2）由及

得，故，

即，当时上式也成立,

,故是以3为首项，3为公比的等比数列

（3）由（2）得

故解得，最小正整数的值5

知识点

裂项相消法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（　　）

Aan=2n

Ban=2（n﹣1）

Can=2n

Dan=2n﹣1

正确答案

解析

由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，

∴数列为公比为2的等边数列，∴an=2n。

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b。

正确答案

（1）e=

（2）a=7，b=

解析

（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），

若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2﹣﹣a2=0，

则，解得e=。

（2）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a，

由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设N（x1，y1），由题意知y1＜0，

则，即代入椭圆方程得，

将b2=4a代入得，解得a=7，b=

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列满足：，.的前n项和为.

（1）求及；

（2）令（）,求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，

所以；==。

（2）由（1）知，所以bn===，

所以==，

即数列的前n项和=。

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列满足

（1）求的值；

（2）设，证明是等比数列；

（3）设为的前项和，证明

正确答案

见解析

解析

（1）解：由，可得

又，

当

（2）证明：对任意

①

②

②-①，得

所以是等比数列。

（3）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意

由①得

因此，

于是，

故

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.

（1）求数列的通项公式；

（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求。

正确答案

见解析。

解析

（1）

，

（2）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列满足

（1）求数列的通项；

（2）若求数列的前n项和

正确答案

见解析。

解析

（1）

………………………(1)

………..(2)

(1)-(2)得即

又也适合上式

（2）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和

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