热门试卷

（1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得

当表示A，B的纵坐标，可知

（2）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即

解得

因为

所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；

当时，存在直线l使得BO//AN.

方法一：(1)依题意，，∠BOy＝30°。

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝，

y＝|OB|·cos 30°＝12。

因为点B(，12)在x2＝2py上，所以()2＝2p×12，解得p＝2。

故抛物线E的方程为x2＝4y。

(2)由(1)知，。

设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x02。

由得

所以Q(，－1)。

设M(0，y1)，令对满足(x0≠0)的x0，y0恒成立。

由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，

由，得－y0－y0y1＋y1＋y12＝0，

即(y12＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0。(*)

由于(*)式对满足(x0≠0)的y0恒成立，

所以

解得y1＝1。

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。

方法二：(1)同方法一。

(2)由(1)知，。

设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为

y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x02。

由得

所以Q(，－1)。

取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)；取x0＝1，此时P(1，)，Q(，－1)，以PQ为直径的圆为(x＋)2＋(y＋)2＝，交y轴于M3(0,1)或M4(0，)。

故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)。

以下证明点M(0,1)就是所要求的点。

因为＝(x0，y0－1)，＝(，－2)，

＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0。

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M

（1）的定义域为

令

(1)    当故上单调递增。

(2)    当的两根都小于0，在上，，故上单调递增。

(3)    当的两根为，

当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减。

（2）由（1）知，。

因为，所以

又由（1）知，，于是

若存在，使得则，即，亦即

再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾，故不存在，使得