热门试卷

方法一：(1)依题意，，∠BOy＝30°。

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝，

y＝|OB|·cos 30°＝12。

因为点B(，12)在x2＝2py上，所以()2＝2p×12，解得p＝2。

故抛物线E的方程为x2＝4y。

(2)由(1)知，。

设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x02。

由得

所以Q(，－1)。

设M(0，y1)，令对满足(x0≠0)的x0，y0恒成立。

由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，

由，得－y0－y0y1＋y1＋y12＝0，

即(y12＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0。(*)

由于(*)式对满足(x0≠0)的y0恒成立，

所以

解得y1＝1。

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。

方法二：(1)同方法一。

(2)由(1)知，。

设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为

y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x02。

由得

所以Q(，－1)。

取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)；取x0＝1，此时P(1，)，Q(，－1)，以PQ为直径的圆为(x＋)2＋(y＋)2＝，交y轴于M3(0,1)或M4(0，)。

故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)。

以下证明点M(0,1)就是所要求的点。

因为＝(x0，y0－1)，＝(，－2)，

＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0。

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M