热门试卷

（1） 设PM2。5的24小时平均浓度在（50,75]内的三天记为，

PM2.5的24小时平均浓度在（75,100）内的两天记为，所以5天任取2天的情况有：，，，，，，，，共10种。

其中符合条件的有：，，，，，共6种。

所以所求的概率。

（2）去年该居民区PM2。5年平均浓度为：

（微克/立方米）。

因为，所以去年该居民区PM2。5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进。

解法一：（1）因为，所以，

函数的图象在点处的切线斜率。

由得：。

（2）由（1）知，，令。

因为，，所以在至少有一个根。

又因为，所以在上递增，

所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根。

（3）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即。

记

，

则。

（1）当，即时，对一切成立，

所以在上递增，又，所以当时，当时，即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线

在该点处切线的两侧。

（2）当，即时，时，；时，；

时，，故在上单调递减，在上单调递增。

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧。

（3）当，即时，

时，；时，；时，。

故在上单调递增，在上单调递减。

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧。

综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧。

解法二：（1）（2）同解法一；（3）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即。

记

，

则。

若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都

位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当，即时，t不是极值点，即，所以在上递增。

又，所以当时，；当时，，

即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧。

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，

∴直线l的方程为y=x﹣1。…（2分）

又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），

∴在点（1，0）的导函数值为1。

∴，∴，

∴

（2）∵h（x）=f（x）﹣g′（x）=lnx﹣x2﹣x+1（x＞0）

∴

令h′（x）=0，得或x=﹣1（舍）

当时，h′（x）＞0，h（x）递增；当时，h′（x）＜0，h（x）递减

因此，当时，h（x）取得极大值，

∴[h（x）]极大=

(1)在等边三角形中,

,在折叠后的三棱锥中

也成立, ,平面,

平面,平面;

(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.

 在三棱锥中,,②

;

(3)由(1)可知,结合(2)可得.