相关点法求轨迹方程
共16题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

23.若在线段上，是的中点，证明；

24.若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

解析

由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（I）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ）

解析

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（II）设直线l与x轴的交点坐标，利用面积可得，设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合求解

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.已知圆C:x2+y2=16,过点P（2,3）作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆C的切线,若两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为_______.

正确答案

2x+3y=16

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),则直线AQ的方程为x1x+y1y=16,直线BQ的方程为x2x+y2y=16,

因为点Q为两直线的交点,所以所以A,B两点都在直线xm+yn=16上,又点P(2,3)在弦AB上,所以2m+3n=16,故点Q的轨迹方程为2x+3y=16

知识点

直线与圆的位置关系相关点法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知、分别为椭圆：的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则的重心的轨迹方程为( )

正确答案

解析

第一步识别条件：椭圆：可以画出图像画，好图形之后，赶紧把焦点标上，顶点标上，点为椭圆上的动点，赶紧把点P标上吧。随便找个位置，但是千万别找特殊点，比如顶点！的重心，重心G，啥意思呢？这还有坐标系，

第二步转化条件：应该想到在向量一章里面学过这个重心的坐标表示可以用三个顶点表示啊 G（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3），再看看图形，发现太好了，三个点中，F1,F2关于原点是对称的，x1+x2=0,y1+y2=0这下可好了。

第三步看问定向：重心的轨迹方程，设G（x，y）,则P(3x,3y)，再利用P在椭圆上，坐标带进去吧

第四步结论已出现：

知识点

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．如图，圆与轴的正半轴交于点，是圆上的动点，点在轴上的投影是，点满足

（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线与点的轨迹交于不同的两点、，若，求直线的方程

正确答案

（1）设，

则由题意得轴且M是DP的中点，

所以

又P在圆上，所以，即

，即

轨迹是以与为焦点，

长轴长为4的椭圆。

（2）方法一：当直线的斜率不存在时，

，不满足题意。

设直线方程为，

代入椭圆方程得：

△

设，

则　　　（＊）

由知E是BF中点，

所以　　　　（＊＊）

由（＊）、（＊＊）

解得满足，

所以

即所求直线方程为：

解析

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知识点

向量在几何中的应用直线的一般式方程相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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