解三角形_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：

①由已知条件，这个三角形被唯一确定；

②△ABC一定是钝角三角形；

③sinA：sinB：sinC=7：5：3；

④若b+c=8，则△ABC的面积是．

其中正确结论的序号是 ______．

正确答案

由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），

则a=k，b=k，c=k，

∴a：b：c=7：5：3，

∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；

同时由于△ABC边长不确定，故①错；

又cosA==

=-＜0，

∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；

若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，

又A=120°，∴S△ABC=bcsinA=，故④错．

故答案：②③

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题型：填空题

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填空题

给定下列命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为；

②若a、β为锐角，tan(α+β)=，tanβ=则α+2β=；

③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；

④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且a2+b2-c2＜0，则△ABC一定是钝角三角形．

其中真命题的序号是______．

正确答案

①由扇形的面积公式s==1故错误；②因为α+2β=（α+β）+β，则tan[（α+β）+β]==1，又因为α、β为锐角，所以

α+2β=，故正确；③根据正弦定理得=，因为sinA＜sinB，得到BC＜AC故正确；④根据余弦定理得cosC=，因为a2+b2-c2＜0，而2ab＞0，得到cosC＜0，因为∠C∈（0，π）所以∠C为钝角故正确．

故答案为②③④

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题型：填空题

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填空题

指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB______

（2）对于实数x，y，p：x+y≠8，q：x≠2或y≠6______

（3）在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB______

（4）已知x，y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0______

正确答案

（1）在△ABC中，有正弦定理知道：=

∴sinA＞sinB⇔a＞b又由a＞b⇔A＞B

所以，sinA＞sinB⇔A＞B即p是q的充要条件

（2）因为命题“若x=2且y=6，则x+y=8”是真命题，故p⇒q，

命题“若x+y=8，则x=2且y=6”是假命题，故q不能推出p，

所以p是q的充分不必要条件

（3）取A=120°，B=30°，p不能推导出q；取A=30°，B=120°，q不能推导出p

所以，p是q的既不充分也不必要条件

（4）因为P={（1，2）}，Q={（x，y）|x=1或y=2}，P⊊Q，

所以，p是q的充分非必要条件．

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题型：填空题

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填空题

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=，则(a2+b2+c2)(++)的最小值为 ______．

正确答案

由正弦定理可知===2R

∴sinA=，sinB=，sinC=

∴(a2+b2+c2)(++)

=4R2（a2+b2+c2）（+ +）

=4R2（3++++++）≥4R2（3+2+2+2）=（当且仅当a=b=c时等号成立）．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，C＞，若函数y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的有______．

①f（cosA）＞f（cosB）②f（sinA）＞f（sinB）③f（sinA）＞f（cosB）④f（sinA）＜f（cosB）

正确答案

在△ABC中，由C＞可得A+B＜90°

从而可得，0°＜A＜90°-B，

0＜sinA＜sin（90°-B）＜1

即0＜sinA＜cosB＜1

∵函数y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数

∴f（sinA）＞f（cosB）

故答案为：③

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=sin（2x+）+2cos2（-x）．

（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；

（2）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（）=+1，c=，cosB=，求b．

正确答案

（1）f（x）=sin（2x+）+2cos2（-x）

=sin（2x+）+[1+cos（-2x）]=sin2x+cos2x+1+sin2x

=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1

∴f（x）的最小正周期T==π，

令2x+=+kπ（k∈Z），得x=+kπ（k∈Z）

∴f（x）的对称轴方程为x=+kπ（k∈Z）；

（2）由（1）得f（）=sin（C+）+1=+1

∴sin（C+）=1，结合C∈（0，π）得C=

∵cosB=，可得sinB==

∴由正弦定理=，得

b===．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，满足

AB

2=•+•+•，a，b，c分别是△ABC的三边．

（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．

（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

正确答案

（1）∵

AB

2=•+•+•=•（-）+•=

AB

2+•，

∴•=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．

∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+)∈(1，]．（5分）

（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤

对任意的a，b，c均成立．

∵右边=[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+．（8分）

令t=sinA+cosA(t∈(1，])，则f(t)=t+=t-1++1，

∴当t=时，f(t)min=3+2，（11分）故 k∈[ 3+2 ，+∞)．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知关于x的方程（m2-1）x2-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2，m2+a2m-8a=0，m2+b2m-8b=0．

求：（1）m的值；

（2）△ABC的面积．

正确答案

（1）方程有两个实数根，则m2-1≠0，

解方程得x1=，x2=．由题意，得

即

故m=2．

（2）把m=2代入两等式，化简得a2-4a+2=0，b2-4b+2=0，

当a=b时，a=b=2±．

当a≠b时，a、b是方程x2-4x+2=0的两根，而△＞0，

由韦达定理得，a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．

①a≠b，c=2时，由于a2+b2=（a+b）2-2ab=16-4=12=c2

故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=ab=1．

②a=b=2-，c=2时，因2(2-)＜2，

故不能构成三角形，不合题意，舍去．

③a=b=2+，c=2时，因2(2+)＞2，故能构成三角形．

S△ABC=×2×=

综上，△ABC的面积为1或．

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题型：简答题

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简答题

（1）化简[(a-32b2)-1(ab-3)12(b12)7]13．

（2）解lgx=lga+2lgb+lgc．

（3）用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一．

（4）试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和．

（5）已知球的半径等于r，试求内接正方形的体积．

（6）已知a是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b的计算公式．

正确答案

（1）原式=(a32b-2a12b-32b72)13=(a2b0)13=a23．

（2）x=a2b12c6．

（3）

=

可知第四项之值已小于0.001，所以，

计算可到第三项为止，其误差必小于千分之一

（3.02）4=81+2.16+0.0216=83.182．

（4）证：由c2；；=a2+b2

∴弦上半圆的面积

=π()2=π=π()2+π()2

=勾上半圆的面积+股上半圆的面积．

（5）内接正方体的中心即该球的球心

正方体过中心的对角线为该球的直径，

故其长为2r若设内接正方体的边长为a，

则有3a2=4r2，．

∴内接正方体的体积a3=(

2

3

r)3=r3

（6）由正弦定理可知=

∴b==．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sinx+cosx．

（I）求函数f（x）的最小正周期和在区间[0，π]上的值域；

（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(A)=，且a=b，求角C．

正确答案

（I）∵f(x)=sinx+cosx=sin(x+)…（2分）

∴f（x）的最小正周期为2π． …（3分）

因为x∈[0，+∞]，所以x+∈[，]，…（4分）

所以f（x）值域为[-，1]． …（6分）

（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+)，∴sin(A+)=…（7分）

∵0＜A＜π，∴＜A+＜…（8分）

∴A+=，得A=． …（9分）

∵a=b，且=，…（10分）

∴=，∴sinB=1，…（11分）

∵0＜B＜π，∴B=…（12分）

∴C=π-A-B=． …（13分）

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题型：简答题

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简答题

设函数f(x)=sinx+cosx，x∈R．

（I）求函数f（x）的周期和值域；

（II）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=，且a=b，求角C的值．

正确答案

（I）∵f(x)=sinx+cosx=sin(x+)，（3分）

∴f（x）的周期为2π．（4分）

因为x∈R，所以x+∈R，

所以f（x）值域为[-1，1]；（5分）

（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+)，（6分）

∴sin(A+)=，（7分）

∵0＜A＜π，∴＜A+＜，（8分）

∴A+=，得到A=．（9分）

∵a=b，且=，（10分）

∴=，∴sinB=1，（11分）

∵0＜B＜π，∴B=．（12分）

∴C=π-A-B=．（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知f(x)=sincos+cos2+．

（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；

（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（B）的值．

正确答案

（1）∵已知f(x)=sincos+cos2+=sin+cos+1=sin（+）+1，

故f（x）的周期为 =4π．

由sin（+）=0 求得 +=kπ，k∈z，即 x=2kπ-，故函数的图象的对称中心为（2kπ-，0）．

（2）△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，

化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．

∴f（B）=sin（+）+1=+1．

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题型：简答题

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简答题

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若=

（I）求角A的大小；

（II）若f（x）=2cos2（x+A）+cos（2x-2A），求y=f（x）的最小正周期与单调递增区间．

正确答案

：（I）由 =，得 =，即a2=b2+c2-bc，由余弦定理，得 cosA=，

又角A是△ABC的一个内角，∴A=．

（II）∵f（x）=2cos2（x+A）+cos（2x-2A）=1+cos（2x+2A）+cos（2x-2A）=1-cos2x，

故函数的最小正周期为 =π．

由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得 kπ≤x≤kπ+，k∈z，故单调增区间为[kπ，kπ+]，k∈z．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a-c），=（cosB，cosC），且∥

（1）求角B的大小；

（2）设f（x）=cos（ωx-）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

正确答案

（1）由m∥n，得bcosC=（2a-c）cosB，

∴bcosC+ccosB=2acosB．

由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB．

又B+C=π-A，

∴sinA=2sinAcosB．

又sinA≠0，∴cosB=．

又B∈（0，π），∴B=．

（2）f(x)=cos(ωx-)+sinωx=cosωx+sinωx=sin(ωx+)

由已知=π，∴ω=2.f(x)=sin(2x+)

当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin(2x+)∈[-，1]

因此，当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值；

当2x+=，即x=时，f(x)取得最小值-

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，

（Ⅰ）求B的值；

（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的范围．

正确答案

（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，

∴acosC+ccosA=2bcosB，

由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，

即：sin（A+C）=sinB，

∴sinB=2sinBcosB，

又在△ABC中，sinB≠0，

∴cosB=，

∵0＜B＜π，

∴B=；

（Ⅱ）∵B=，

∴A+C=

∴2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-)

=1-cos2A-cos2A+sin2A=1+sin2A-cos2A

=1+sin(2A-)，

∵0＜A＜，-＜2A-＜π

∴-＜sin(2A-)≤1

∴2sin2A+cos（A-C）的范围是(-，1+]．

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