解三角形_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若4sin2B+C2-cos2A=，b+c=a，求A、B、C的大小．

正确答案

∵4sin2B+C2-cos2A=，

即4-（2cos2A-1）=，

∴2+2cosA-2cos2A+1=，

即2cos2A-2cosA+=0

解得cosA=

∵A∈（0，π）

∴A=

又b+c=a，由正弦定理得：sinB+sinC=sinA=

∴sin（-C）+sinC=

∴sin（C+）=

∴C+=，或C+=

∴C=，或C=

∴A=，B=，C=，或A=，B=，C=

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的面积为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，0＜C＜90°．

（1）求sin（A+B）的值；

（2）求cos(2C+)的值；

（3）求向量，的数量积•．

正确答案

（1）由absinC=2，即×3×4sinC=2，得sinC=．（2分）

∵A+B=180°-C，

∴sin（A+B）=sin（180°-C）=sinC=（4分）

（2）由（1）得sinC=，∵0＜C＜90°，

∴cosC===（5分）

∴cos2C=2cos2C-1=2×(

7

3

)2-1=．（6分）

∴sin2C=2sinCcosC

=2××

=（7分）

∴cos（2C+）=cos2Ccos-sin2Csin

=×-×

=-．（9分）

（3）∵||=a=3，||=b=4，（10分）

设向量与所成的角为θ，则θ=180°-C（11分）

∴•=||•||cosθ

=abcos（180°-C）

=-abcosC

=-3×4×

=-4（12分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC=4acosA．

（Ⅰ）求cosA的值（Ⅱ）若△ABC的面积是，求•的值．

正确答案

（Ⅰ）利用正弦定理==，

得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，

sin（B+C）=4sinAcosA，

即sinA=4cosAsinA，

所以cosA=．

（Ⅱ）由（I），得sinA=，

由题意，得S△ABC=bcsinA=，

所以bc=8，

因此•=bccosA=2．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosB=-，cosC=，AB=13，求BC．

正确答案

∵cosB=-＜0，

∴B为钝角，A，C为锐角，

∴sinB==，

∵cosC=，

∴sinC==，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，

∵AB=13，由正弦定理得=，

∴BC==13××=11．

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题型：填空题

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填空题

三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2-7x-6=0的根，则这个三角形的面积是______cm2．

正确答案

解方程5x2-7x-6=0可得此方程的根为2或-，故夹角的余弦cosθ=-，∴sinθ=．

则这个三角形的面积是 ×3×5×sinθ=6．

故答案为：6．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足A=45°，cosB=．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）∵cosB=，

∴sinB=

∴sinC=sin(A+B)=sin(45o+B)=cosB+sinB=

（或：sinC=sin(135o-B)=cosB+sinB=）

（Ⅱ）法一：由正弦定理得，b===4，

∴S△ABC=absinC=×5×4×=14

法二：由正弦定理得，c===7，

∴S△ABC=acsinB=×5×7×=14．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．

（1）求A的大小；

（2）若BC=3，求△ABC的周长l的最大值．

正确答案

（1）将sinB+sinC=sin（A-C）变形得sinC（2cosA+1）=0，

而sinC≠0，则cosA=-，又A∈（0，π），于是A=；

（2）记B=θ，则C=-θ（0＜θ＜），由正弦定理得，

则△ABC的周长l=2[sinθ+sin（-θ）]+3=2sin（θ+）+3≤2+3，

当且仅当θ=时，周长l取最大值2+3．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．

（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；

（Ⅱ）求sinA+sin(C-)的取值范围．

正确答案

由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，

即2sinCcosB-sin（A+B）=0，

在△ABC中，由sin（A+B）=sinC

故sinC（2cosB-1）=0，

∵C∈（0，π），∴sinC≠0，

∴2cosB-1=0，所以B=60°（3分）

（Ⅰ）由b2=a2+c2-2accos60°=（a+c）2-3ac，

即72=132-3ac，得ac=40（5分）

所以△ABC的面积S=acsinB=10；（6分）

（Ⅱ）因为sinA+sin(C-)=sinA+sin(-A)

=sinA+cosA=2sin(A+)，（10分）

又A∈（0，），∴A+∈(，)，

则sinA+sin(C-)=2sin(A+)∈(1，2]．（12分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知A=，cosB=．

（1）求cosC的值；

（2）若BC=10，求△ABC的面积．

正确答案

（1）∵cosB=，且B∈（0，π），

∴sinB==，

∴cosC=cos（π-A-B）=cos（-B）=-×+×=-；

（2）由（1）可得sinC===，

由正弦定理得=，即=，解得：AB=14，

在△ABC中，S△ABC=AB•BC•sinB=×14×10×=42．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，a=25，b=10，∠A=60°，则cosB=______．

正确答案

∵a=25，b=10，∠A=60°，

∴由正弦定理=得：sinB===，

又b＜a，∴B＜A，

则cosB==．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=，cosB=

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC最长的边为1，求b．

正确答案

（1）∵cosB=＞0，

∴B锐角，且sinB==，

∴tanB==，

∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-=-=-1．

（2）由（1）知C为钝角，C是最大角，最大边为c=1，

∵tanC=-1，∴C=135°，∴sinC=，

由正弦定理：=得b===．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知a=3，b=2，cosA=-．

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

正确答案

（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-，

∴sinA===，…（2分）

∵a=3，b=2，sinA=，

由正弦定理=得：sinB=sinA=×=；…（6分）

（Ⅱ）∵cosA=-，∴角A为钝角，从而角B为锐角，

∵sinB=，

∴cosB===，…（8分）

则sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=×+×=．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

若在△ABC中，∠A=600，b=1，S△ABC=，则=______．

正确答案

由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，

又b=1，S△ABC=，

∴bcsinA=×1×c×=，

解得c=4，

根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=1+16-4=13，

解得a=，

根据正弦定理====，

则=．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且=，则角B=（　　）

正确答案

根据余弦定理可得：

cosC=，cosB=，

所以=•，

又因为=，

所以整理可得：2a（a2+c2-b2-ac）=0，

因为a＞0，所以a2+c2-b2-ab=0，

所以由余弦定理可得cosB==，

所以B=60°．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知cosA+cos2A=0．

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，b=2，求sin(B+)的值．

正确答案

（1）由cosA+cos2A=0 得2cos2A+cosA-1=0，…（2分），

解得cosA=-1，或cosA=…（4分）．

因为A是三角形的内角，0＜A＜π，所以A=．…（6分）

（2）由正弦定理=得=…（8分），解得sinB= …（9分），

因为b＜a，所以0＜B＜A＜，cosB= …（10分），

所以sin(B+)=sinBcos+cosBsin=．…（12分）

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