热门试卷

（Ⅰ）∵已知=，由正弦定理得 =，即 sin2A=sin2B．  …（3分）

∴A=B，或A+B=（舍去），∵C=，则A=B=．   …（6分）

（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（x+A）+cosx=sin（x+）+cosx=sin（x+），…（10分）

∵x∈[-，]，则 ≤x+≤．  …（12分）

故当 x+=时，函数f（x）=sin（x+）取得最大值为 ．    …（14分）

（1）由余弦定理得acosA=bcosB可知a•=b•，

所以a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2），

即（a2-b2）c2=（a2-b2）（a2+b2），（3分）

所以（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以a=b或c2=a2+b2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．（6分）

（2）由tanC+=0及正弦定理可得+2sinC=0，

而sinC＞0，所以cosC=-，所以C=，（8分）

结合（1）可知△ABC必为等腰三角形，且A=B=，

故△ABC的面积S=absinC=a2•=，

所以a=2．（12分）

（I）∵cos2B=2cos2B-1，sin2=（1-cosB）

∴由cos2B+1=2sin2，得2cos2B+cosB-1=0，…（2分）

解之得cosB=或cosB=-1

∵B∈（0，π），得-1＜cosB＜1，

∴舍去cosB=-1得cosB=，…（5分）

因此可得B=．…（7分）

（Ⅱ）∵B=且b=

∴===2，得 …（9分）

∴a+c=2(sinA+sinC)=2[sinA+sin(A+)]

=2[sinA+（sinAcos+cosAsin）]=2（sinA+cosA）=2sin(A+)． …（11分）

∵B=，∴0＜A＜，可得＜A+＜，…（13分）

因此，当A+=时，即A=时，a+c的最大值为2．…（14分）

（Ⅰ）由正弦定理及2acosC+ccosA=b．

得2sinAcosC+sinCcosA=sinB

在△ABC中，A+B+C=π，

∴A+C=π-B，即sin（A+C）=sinB．

∴2sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）+sinAcosC=sinB+sinAcosC=sinB

∴sinAcosC=0

又∵0＜A＜π，0＜C＜π，

∴sinA＞0．

∴cosC=0

∴C=π

（Ⅱ）由（Ⅰ）得C=π，

∴A+B=π，即B=π-A．

∵sinAcosB+sinB=cos2B+sinB=-sin2B+sinB+1=-(sinB-

1

2

)2+

∵0＜B＜，

∴当sinB=，即B=时，sinAcosB+sinB取得最大值．

（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2-ab=4，…．（3分）

又因为△ABC的面积等于，所以absinC=，得ab=4．（5分）

联立方程组解得a=2，b=2．（7分）

（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B-A）=sin2A

得到sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A=2sinAcoA

即：sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcoA

所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）

当cosA=0时，A=，△ABC为直角三角形（12分）

当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，

所以，△ABC为等腰三角形．（14分）

（Ⅰ）函数f（x）=sin（-x）cosx-sinx•cos（π+x）=cos2x+sinxcosx…（2分）

=（sin2x+cos2x+1）=sin（2x+）+…（3分）

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，可得x∈[-+kπ，+kπ]

所以函数f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]（k∈Z）  …（5分）

同理可得函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）…（6分）

（Ⅱ）因为f（A）=1，所以sin（2A+）+=1

所以sin（2A+）=

因为A为锐角，所以＜2A+＜ …（8分）

所以2A+=，所以A=            …（9分）

在△ABC中，由正弦定理得，=，即=…（11分）

∴AC=   …（12分）

（I）∵sin2A-sin2B=sinA•sinC-sin2C，

由正弦定理得：a2-b2=ac-c2，∴a2+c2-b2=ac，

由余弦定理得：cosB==，又B∈（0，π）∴B=

（II）cosA=，所以sinA=，

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．

（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），

∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

又sinA≠0，

∴cosB=，又B为三角形的内角，

则B=；

（2）∵b2=ac，cosB=，

∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：ac=a2+c2-ac，

即（a-c）2=0，

∴a=c，又B=，

则△ABC为等边三角形；

（3）∵C=π-（A+B），B=，

∴sin（C-）=sin[π-（A+）-]=sin（-A）=cosA，sinC=sin（A+B），

由正弦定理==化简得：

==

==1，

则为定值．

（1）(a-c)•=c•

可化为：(a-c)|•|cosB=c•|，

即：(a-c)cacosB=cabcosC，

∴(a-c)cosB=bcosC，

根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

∴sinAcosB=sin(C+B)，即sinAcosB=sinA，

因为sinA＞0，所以cosB=，即B=；

（II）因为|-|=，所以||=，即b2=6，

根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

可得6=a2+c2-ac，

有基本不等式可知6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac，

即ac≤3(2+)，

故△ABC的面积S=acsinB=ac≤，

即当a=c=时，

△ABC的面积的最大值为．

（1）由=得=

∴=，2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，

即2sinAcosB=cosBsinc+sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C），

由B+C=π-A得，2sinAcosB=sinA，

∵sinA≠0，∴cosB=， ∠B=60°．

（2）由S△ABC=acsinB=acsin60°=得， ac=3，

∴b2=a2+c2-2accos60°≥2ac-ac=ac=3，当且仅当a=c=时取等号，

即b≥，故当b取最小值时，三角形为正三角形．