解三角形_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asin（B+）=c

（I）求角A的大小．，

（II）若△ABC为锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．

正确答案

（I）asin（B+）=a（sinB+cosB）=c，

由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，

∴sinA=cosA，即tanA=1，

∵A为三角形的内角，

∴A=；

（II）sinBsinC=sinBsin（-B）=sinBcosB+sin2B=（sin2B-cos2B）+

=sin（2B-）+，

∵0＜B＜，0＜-B＜，

∴＜B＜，即＜2B-＜，

则sinBsinC的取值范围为（，]．

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题型：简答题

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简答题

已知f(x)=sin(x+)-cosx．

（I）求f（x）在[0，π]上的最小值；

（II）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，b=5，cosA=，且f（B）=1，求边a的长．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）-cosx

=sinx+cosx=sin（x+），

∵≤x+≤，

∴x=π时，f（x）min=-；

（II）∵f（B）=1，

∴x+=2kπ+，k∈Z，又B为三角形的内角，

∴B=，

∵cosA=，∴sinA==，

又b=5，

由正弦定理得=，得a===8．

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题型：简答题

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简答题

设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知=，

（1）求角B；

（2）若A是△ABC的最大内角，求cos(B+C)+sinA的取值范围．

正确答案

（1）在△ABC中，由正弦定理，得=，

又因为=，所以sinB=cosB，

所以tanB=，又因为0＜B＜π，所以B=．

（2）在△ABC中，B+C=π-A，

所以cos(B+C)+sinA=sinA-cosA=2sin(A-)，

由题意，得≤A＜，≤A-＜，

所以sin（A-）∈[，1)，即2sin（A-）∈[1，2），

所以cos(B+C)+sinA的取值范围[1，2）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin（-x）cosx-sinx•cos（π+x）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中，若A为锐角，且f（A）=1，BC=2，B=，求AC边的长．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=cos2x+sinxcosx=（cos2x+sin2x+1）=sin（2x+）+，

∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为π；

（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+）+=1，

∴sin（2A+）=，

∵A为锐角，∴＜2A+＜，

∴2A+=，即A=，

∵BC=2，B=，

∴由正弦定理=得：AC==．

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题型：简答题

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简答题

△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b2=ac，cosB=．

（1）求+的值；

（2）设• =，求a+c的值．

正确答案

（1）∵b2=ac，

∴由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，

又cosB=，且B为三角形的内角，

∴sinB==，又sin（A+C）=sinB，

∴+=+=====；

（2）∵•=，cosB=，

∴ac•cosB=ac=，即ac=2，

∴b2=ac=2，

∴cosB=====，

∴（a+c）2=9，

则a+c=3．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=(了cosA，sinA)，=(cosA，-了cosA)，•=-1．

（1）若a=了，c=了，求△ABC的面积；

（了）求的值．

正确答案

（1）由2cos2A-2sinAcosA=-1可知，sin（2A-）=1，…上分

因为0＜A＜π，所以2A-∈（-，），

所以2A-=，即A=…6分

由正弦定理可知：=，

∴sinC=，因为C∈（0，）

所以C=，所以B=…8分

∴S△ABC=×2×2=2…10分

（2）原式=

=

=2…1上分．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=．

（Ⅰ）求sin2+sin2B的值；

（Ⅱ）若b=，当ac取最大值时，求△ABC的面积．

正确答案

（本小题满分13分）

（Ⅰ）∵cosB=，且B为三角形的内角，

∴sinB==，…（1分）

则sin2+sin2B=(1-cosB)+2sinBcosB

=+2××=；…（5分）

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=，…（7分）

又b=，cosB=，

∴a2+c2-3=ac，…（8分）

又a2+c2=ac+3≥2ac，

∴ac≤6，当且仅当a=c=时，ac取得最大值，…（11分）

此时S△ABC=acsinB=×6×=，

则当ac取最大值时，△ABC的面积为．…（13分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=，a+b=λc，（其中λ＞1）．

（Ⅰ）若c=λ=2时，求•的值；

（Ⅱ）若•=（λ4+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．

正确答案

（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，

又∵λ=2，C=⇒sinB+sin(-B)=⇒sin(B+)=1，

∴B=，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，

∴•=abcosC=2；

（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，

由•=(λ4+3)⇒ab=(λ4+3)，又a+b=λc，

∴c2=λ2c2-(λ4+3)⇒c2==(λ2-1)++2≥6

∴cmin=当且仅当λ=时取等号．此时c=，ab=4，a+b=3，

∴或，

∴△ABC为直角三角形．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinB=bcosA，则sinB-cosC的最大值是______．

正确答案

由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAcosB=sinBcosA，⇒A=，

∴sinB-cosC=sinB-cos(-B)=sinB+cosB=sin（B+），

∴sinB-cosC的最大值为：1．

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．

（1）若b=2，c=2，求△ABC的面积；

（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

正确答案

∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．

∴结合A+B+C=π，可得B=．

（1）∵b=2，c=2，

∴由正弦定理=，得sinC=sinB=×sin=．

∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π-B-C=．

因此，△ABC的面积为S=bc=×2×2=2．

（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．

∴由正弦定理，得b2=ac

又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，

∴a2+c2-ac=ac，整理得（a-c）2=0，可得a=c

∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，若==，则△ABC的形状是______．

正确答案

∵==，

由正弦定理∴sinB=cosB，sinC=cosC

又△ABC

∴B=C=45°

故A=90°

所以三角形△ABC是等腰直角三角形]

故答案为等腰直角三角形

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题型：简答题

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简答题

如果△ABC外接圆半径为R，且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB，

（1）求角C的值

（2）求△ABC面积的最大值．

正确答案

（1）由2R（sin2A-sin2C）=（ a-b）sinB，

根据正弦定理得a2-c2=（ a-b）b=ab-b2，

∴cosC==，

∴角C的大小为45°，

（2）∵S=absinC=×ab

=R2sinAsinB=R2sinAsin（135°-A）

=R2sinA（sin135°cosA-cos135°sinA）

=R2（sinAcosA+sin2A）

=R2•

∴当2A=135°，即A=67.5°时，Smax=R2

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1-sinA），n=（cosA，1），且m⊥n．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若b+c=a，求sin（B+）的值．

正确答案

（1）由题意知，⊥，∴•=0，即cosA+1-sinA=0．（2分）

∴sinA-cosA=1，即sin（A-）=．（5分）

∵0＜A＜π，∴-＜A-＜，∴A-=，即A=．（6分）

（2）∵b+c=a，由正弦定理得，sinB+sinC=sinA=．（8分）

∵B+C=，∴sinB+sin（-B）=．化简得sinB+cosB=，

即sin（B+）=．（12分）

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，试确定三角形的形状．

正确答案

∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc

∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc

∴（b+c）2-a2=3bc

b2+2bc+c2-a2=3bc

b2-bc+c2=a2根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA

∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA

bc=2bccosA

cosA=

∴A=60°

sinA=2sinBcosC

sin（B+C）=2sinBcosC

∴sin（B-C）=0

B=C，∵A=60°，∴B=C=60°

∴△ABC是等边三角形．

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题型：简答题

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简答题

设函数f(x)=•，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．

正确答案

（1）f(x)=•=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1．

∴函数f(x)的最小正周期T==π．---------------（2分）

令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ．∴函数f(x)的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．--------------（4分）

（2）由f(A)=2，得2sin(2A+)+1=2，即sin(2A+)=，在△ABC中，∵0＜A＜π，

∴＜2A+＜+2π．∴2A+=，解得A=．-（6分）又∵S△ABC=bcsinA=×1×c×=，解得c=2，

∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3，∴a=．---------8

由===，得b=2sinB，c=2sinC，∴=2．--（10分）

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