- 解三角形
- 共10889题
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA的值;
(2)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.
正确答案
(1)由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得:
2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosA=sin(B+C),(4分)
又B+C=π-A,
所以有2sinAcosA=sin(π-A),即2sinAcosA=sinA.
而sinA≠0,所以cosA=;…(6分)
(2)由cosA=及0<A<π,可得:A=
,
∴B+C=π-A=,
由cosB+cosC=,得cosB+cos(
-B)=
,
即cosB-cosB+
sinB=
,
可得:sin(B+)=
,…(8分)
由A=,知B+
∈(
,
),
于是B+=
或B+
=
,
所以B=或B=
,…(10分)
若B=,则C=
,
在直角△ABC中,sin=
,
解得:c=;
若B=,在直角△ABC中,tan
=
,
解得:c=.…(12分)
已知钝角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且有(a-c)cosB=bcosC,
(1)求角B的大小;
(2)设向量=(cos2A+1,cosA),
=(1,-
),且
⊥
,求tan(
+A)的值.
正确答案
(1)∵(a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得:(sinA-sinC)cosB=sinBcosC
∴sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC即
sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
∴sinAcosB=sin(B+C)
因为在△ABC中sin(B+C)=sinA则sinAcosB=sinA
∴cosB=,B=
(2)∵⊥
∴
•
=0即cos2A+1-
cosA=0
∴2cos2A-cosA=0即2cosA(cosA-
)=0
∵cosA≠0∴cosA=
由sin2A+cos2A=1,sinA>0
∴sinA=,tanA=
则tan(A+
)=
=
=7
已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,若向量=(2b-c,cosC),
=(a,cosA),且
∥
.
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=sinB+sin(C-
)的值域.
正确答案
(1)因为向量=(2b-c,cosC),
=(a,cosA),且
∥
.
所以(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
即2sinBcosA=sinB,所以cosA=.A是三角形的内角,所以A=
.
(2)因为函数y=sinB+sin(C-
)=
sinB+cosB=2sin(B+
),
而<B+
<
,所以函数y=2sin(B+
)的值域(1,2].
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA﹣cos (B+
)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.
正确答案
解:(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC,
因为0<A<π,所以sinA>0.
从而sinC=cosC,
又cosC≠0,
所以tanC=1,C=.
(2)有(1)知,B=﹣A,
于是
=sinA+cosA=2sin(A+
).
因为0<A<,所以
从而当A+,即A=
时2sin(A+
)取得最大值2.
综上所述,cos (B+
)的最大值为2,
此时A=,B=
向量=(
,
sinx+
cosx),
=(1,y),已知
∥
,且有函数y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的周期;
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f(A-)=
,边BC=
,sinB=
,求AC的长及△ABC的面积.
正确答案
∵=(
,
sinx+
cosx),
=(1,y),
∴∥
=
y-(
sinx+
cosx)=0,即y=f(x)=2sin(x+
),
(1)∵ω=1,∴函数f(x)的周期为T=2π;
(2)由f(A-)=
得2sin(A-
+
)=
,即sinA=
,
∵△ABC是锐角三角形,
∴A=,
由正弦定理:=
及条件BC=
,sinB=
,得AC=
=
=2,
又∵BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,即7=AB2+4-2•AB×2×,
解得:AB=3,
∴S△ABC=AB•AC•sinA=
.
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量=(a, b),
=(cosA, cosB),
=(2
sin
, 2sinA),若
∥
, |
| =3.
(1)求角A、B、C的值;
(2)若x∈[0, ],求函数f(x)=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值.
正确答案
(1)∵∥
, ∴ acosB=bcosA,
由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,∴sin(A-B)=0,
又-π<A-B<π,∴A=B
而
p
2=||2=8sin2
+4sin2A=9,
∴8cos2+4sin2A=9,∴4(1+cosA)+4(1-cos2A)=9,
∴4cos2A-4cosA+1=0,∴(2cosA-1)2=0
∴cosA=,又0<A<π,∴A=
,
∴A=B=C=.
(2)f(x)=sinxcos+cosxsin
=sin(x+
),
∵x∈[0, ], ∴x+
∈[
,
]
∴x=0时,f(x)min=f(0)=,
x=时,f(x)max=f(
)=1.
在△ABC中,A、B为锐角,A、B、C所对的边分别a、b、c,且sinA=,sinB=
.
(I)求cos(A+B)的值;
(II)若b=1,,求a,c的值.
正确答案
(I)、∵A,B为锐角,sinA=,sinB=
,
∴cosA=,cosB=
所以cos(A+B)=cosA•cosB-sinAsinB=.
(II)、∵b=1,由正弦定理=
,
得a=.
由A+B=
而C=π-(A+B)=,sinC=
.
由=
,
得c=.
已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.
正确答案
由已知及正弦定理,有sinA+sinB=sinA•+sinB•
=cosA+cosB,
∴sinA-cosA=cosB-sinB
∴sin(A-)=sin(B+
),
∵0<A<π,0<B<π
∴-<A-
<
<B+
<
∴A-+B+
=π,
∴A+B=,C=π-(A+B)=
在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin2A=sinCcosB+sinBcosC,
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.
正确答案
(Ⅰ)在△ABC中,由sin2A=sinCcosB+sinBcosC得 3sinAcosA=sin(B+C)=sinA.----(2分),
由于△ABC中,sinA>0,∴3cosA=1,cosA=,----------(4分)∴sinA=
=
.----(6分)
(Ⅱ)由cosB+cosC=得 -cos(A+C)+cosC=
,--------(7分)
即sinAsinC-cosAcosC+cosC=,∴
sinC+
cosC=
,-------(9分)
化简得sinC+cosC=
,cosC=
-
sinC,平方得 sinC=
,--------(12分)
由正弦定理得c==
.------(14分)
已知=(cosϖx,sinϖx),
=(cosϖx,2
cosϖx-sinϖx),ϖ>0,函数f(x)=
•
+|
|,x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为
.
(1)求ϖ的值.
(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边.f(A)=2,c=2,S△ABC=,求a的值.
正确答案
(1)由题意可知:f(x)=•
+|
|
=cos2ϖx+2sinϖxcosϖx-sin2ϖx+1
=cos2ϖx+sin2ϖx+1
=2sin(2ϖx+)+1,
又x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为,
所以函数f(x)的半周期为,即
=
×2,解得ϖ=1
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+)+1,进而可得2sin(2C+
)+1=2,
化简得sin(2C+)=
,解得C=
,
由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos=(a+b)2-3ab,
由S△ABC=absinC=
ab=
,可得ab=2,
综合上面两式可得a+b=,ab=2,故ab为方程x2-
x+2=0的根,
解得a=,或
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若B=60°,且cosA=.
(1)求cosC的值;
(2)若a=5,求△ABC的面积.
正确答案
(1)∵cosA=-cos(B+C)=,∴cos(B+C)=-
,
∴sin(B+C)==
,又B=60°,
则cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB=-×
+
×
=
;
(2)由(1)可得sinC==
,
∵a=5,sinA==
,
∴由正弦定理=
=
=
=
,
∴c=×
=8,b=
×
=7,
则S=bcsinA=14
.
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足=
,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,
]上单调递增,在区间[
,
]上单调递减.
(Ⅰ)证明:b+c=2a;
(Ⅱ)若f()=cosA,证明:△ABC为等边三角形.
正确答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵=
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin(A+B)+sin(A+C)
=2sinA…(3分)
sinC+sinB=2sinA…(5分)
所以b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)由题意知:由题意知:=
,解得:ω=
,…(8分)
因为f()=sin
=
=cosA,A∈(0,π),所以A=
…(9分)
由余弦定理知:cosA==
…(10分)
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以b2+c2-()2=bc,
即:b2+c2-2bc=0所以b=c…(11分)
又A=,所以△ABC为等边三角形.…(12分)
已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-
sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在面积为的△ABC中,若角A为锐角,f(A)=0,求A所对的边的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)因为f(x)=2cosx(sinx+
cosx)-
sin2x+sinxcosx…(1分)
=sin2x+cos2x=2sin(2x+
),…(5分)
所以周期T=π.…(7分)
(Ⅱ)因为0<A<,所以
<2A+
<
.…(8分)
由f(A)=0⇔sin(2A+)=0,…(9分)
所以2A+=π,即A=
.…(10分)
因为S△ABC=bcsinA=
,…(11分)
所以bc=4…(12分)
又因为由余弦定理可得 a2=b2+c2-bc≥bc=4,…(13分)
所以a≥2.…(14分)
在△ABC中,若∠A=,tan(A+B)=7,AC=3
,则△ABC的面积为______.
正确答案
在△ABC中,∵A+B+C=π,∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
∵tan(A+B)=7,∴tanC=-7,∴=-7
∵sin2C+cos2C=1,C∈(0,π),
∴sinC=
∵∠A=,tan(A+B)=7,∴
=7
∴tanB=
∵C∈(0,π),∴sinB=
∴由正弦定理=
,代入得到c=7
∴S△ABC=bcsinA=
×3
×7×sin
=
故答案为:
已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+m(m∈R)的图象过点M(
,0).
(1)求m的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosB,求f(A)的取值范围.
正确答案
(1)∵sinxcosx=sin2x,cos2x=
(1+cos2x)
∴f(x)=sinxcosx-cos2x+m=
sin2x-
(1+cos2x)+m
=sin2x-
cos2x-
+m=sin(2x-
)-
+m
∵函数y=fx)图象过点M(,0),
∴sin(2•-
)-
+m=0,解之得m=
(2)∵ccosB+bcosC=2acosB,
∴结合正弦定理,得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB
∵B+C=π-A,得sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA
∴sinA=2sinAcosB
∵△ABC中,sinA>0,∴cosB=,得B=
由(1),得f(x)=sin(2x-),
所以f(A)=sin(2A-),其中A∈(0,
)
∵-<2A-
<
,
∴sin(2A-)>sin(-
)=-
,sin(2A-
)≤sin
=1
因此f(A)的取值范围是(-,1]
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