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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2acosA=ccosB+bcosC.

(1)求cosA的值;

(2)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.

正确答案

(1)由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得:

2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosA=sin(B+C),(4分)

又B+C=π-A,

所以有2sinAcosA=sin(π-A),即2sinAcosA=sinA.

而sinA≠0,所以cosA=;…(6分)

(2)由cosA=及0<A<π,可得:A=

∴B+C=π-A=

由cosB+cosC=,得cosB+cos(-B)=

即cosB-cosB+sinB=

可得:sin(B+)=,…(8分)

由A=,知B+∈(),

于是B+=或B+=

所以B=或B=,…(10分)

若B=,则C=

在直角△ABC中,sin=

解得:c=

若B=,在直角△ABC中,tan=

解得:c=.…(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知钝角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且有(a-c)cosB=bcosC,

(1)求角B的大小;

(2)设向量=(cos2A+1,cosA),=(1,-),且,求tan(+A)的值.

正确答案

(1)∵(a-c)cosB=bcosC,

由正弦定理得:(sinA-sinC)cosB=sinBcosC

sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC即sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

sinAcosB=sin(B+C)

因为在△ABC中sin(B+C)=sinA则sinAcosB=sinA

∴cosB=,B=

(2)∵=0即cos2A+1-cosA=0

∴2cos2A-cosA=0即2cosA(cosA-)=0

∵cosA≠0∴cosA=

由sin2A+cos2A=1,sinA>0

∴sinA=,tanA=则tan(A+)===7

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题型:简答题
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简答题

已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,若向量=(2b-c,cosC),=(a,cosA),且

(1)求角A的大小;

(2)求函数y=sinB+sin(C-)的值域.

正确答案

(1)因为向量=(2b-c,cosC),=(a,cosA),且

所以(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)

即2sinBcosA=sinB,所以cosA=.A是三角形的内角,所以A=

(2)因为函数y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin(B+),

<B+,所以函数y=2sin(B+)的值域(1,2].

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.

(1)求角C的大小;

(2)求sinA﹣cos (B+)的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.

正确答案

解:(1)由正弦定理得  sinCsinA=sinAcosC,

因为0<A<π,所以sinA>0.

从而sinC=cosC,

又cosC≠0,

所以tanC=1,C=

(2)有(1)知,B=﹣A,

于是

=sinA+cosA=2sin(A+).

因为0<A<,所以

从而当A+,即A=时2sin(A+)取得最大值2.

综上所述,cos (B+)的最大值为2,

此时A=,B=

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题型:简答题
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简答题

向量=(sinx+cosx),=(1,y),已知,且有函数y=f(x).

(1)求函数y=f(x)的周期;

(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f(A-)=,边BC=,sinB=,求AC的长及△ABC的面积.

正确答案

=(sinx+cosx),=(1,y),

=y-(sinx+cosx)=0,即y=f(x)=2sin(x+),

(1)∵ω=1,∴函数f(x)的周期为T=2π;

(2)由f(A-)=得2sin(A-+)=,即sinA=

∵△ABC是锐角三角形,

∴A=

由正弦定理:=及条件BC=,sinB=,得AC===2,

又∵BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,即7=AB2+4-2•AB×2×

解得:AB=3,

∴S△ABC=AB•AC•sinA=

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量=(a, b), =(cosA, cosB),=(2sin, 2sinA),若, || =3.

(1)求角A、B、C的值;

(2)若x∈[0, ],求函数f(x)=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值.

正确答案

(1)∵, ∴ acosB=bcosA,

由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,∴sin(A-B)=0,

又-π<A-B<π,∴A=B

p

2=||2=8sin2+4sin2A=9,

∴8cos2+4sin2A=9,∴4(1+cosA)+4(1-cos2A)=9,

∴4cos2A-4cosA+1=0,∴(2cosA-1)2=0

∴cosA=,又0<A<π,∴A=

∴A=B=C=

(2)f(x)=sinxcos+cosxsin=sin(x+),

∵x∈[0, ], ∴x+∈[, ]

∴x=0时,f(x)min=f(0)=

x=时,f(x)max=f()=1.

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,A、B为锐角,A、B、C所对的边分别a、b、c,且sinA=,sinB=

(I)求cos(A+B)的值; 

(II)若b=1,,求a,c的值.

正确答案

(I)、∵A,B为锐角,sinA=,sinB=

∴cosA=,cosB=   

所以cos(A+B)=cosA•cosB-sinAsinB=

(II)、∵b=1,由正弦定理=

得a=

由A+B=

而C=π-(A+B)=,sinC=

=

得c=

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题型:简答题
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简答题

已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.

正确答案

由已知及正弦定理,有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB,

∴sinA-cosA=cosB-sinB

∴sin(A-)=sin(B+),

∵0<A<π,0<B<π

∴-<A-<B+

∴A-+B+=π,

∴A+B=,C=π-(A+B)=

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin2A=sinCcosB+sinBcosC,

(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值.

正确答案

(Ⅰ)在△ABC中,由sin2A=sinCcosB+sinBcosC得 3sinAcosA=sin(B+C)=sinA.----(2分),

由于△ABC中,sinA>0,∴3cosA=1,cosA=,----------(4分)∴sinA==.----(6分)

(Ⅱ)由cosB+cosC=得 -cos(A+C)+cosC=,--------(7分)

即sinAsinC-cosAcosC+cosC=,∴sinC+cosC=,-------(9分)

化简得sinC+cosC=,cosC=-sinC,平方得 sinC=,--------(12分)

由正弦定理得c==.------(14分)

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题型:简答题
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简答题

已知=(cosϖx,sinϖx),=(cosϖx,2cosϖx-sinϖx),ϖ>0,函数f(x)=+||,x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为

(1)求ϖ的值.

(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边.f(A)=2,c=2,S△ABC=,求a的值.

正确答案

(1)由题意可知:f(x)=+||

=cos2ϖx+2sinϖxcosϖx-sin2ϖx+1

=cos2ϖx+sin2ϖx+1

=2sin(2ϖx+)+1,

又x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为

所以函数f(x)的半周期为,即=×2,解得ϖ=1

(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+)+1,进而可得2sin(2C+)+1=2,

化简得sin(2C+)=,解得C=

由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos=(a+b)2-3ab,

由S△ABC=absinC=ab=,可得ab=2,

综合上面两式可得a+b=,ab=2,故ab为方程x2-x+2=0的根,

解得a=,或

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若B=60°,且cosA=

(1)求cosC的值;

(2)若a=5,求△ABC的面积.

正确答案

(1)∵cosA=-cos(B+C)=,∴cos(B+C)=-

∴sin(B+C)==,又B=60°,

则cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB=-×+×=

(2)由(1)可得sinC==

∵a=5,sinA==

∴由正弦定理====

∴c=×=8,b=×=7,

则S=bcsinA=14

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题型:简答题
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简答题

已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足=,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[]上单调递减.

(Ⅰ)证明:b+c=2a;

(Ⅱ)若f()=cosA,证明:△ABC为等边三角形.

正确答案

(本小题满分12分)

(Ⅰ)∵=

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA

∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA

=2sinAsin(A+B)+sin(A+C)

=2sinA…(3分)

sinC+sinB=2sinA…(5分)

所以b+c=2a…(6分)

(Ⅱ)由题意知:由题意知:=,解得:ω=,…(8分)

因为f()=sin==cosA,A∈(0,π),所以A=…(9分)

由余弦定理知:cosA==…(10分)

所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以b2+c2-()2=bc,

即:b2+c2-2bc=0所以b=c…(11分)

又A=,所以△ABC为等边三角形.…(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx.

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)在面积为的△ABC中,若角A为锐角,f(A)=0,求A所对的边的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)因为f(x)=2cosx(sinx+cosx)-sin2x+sinxcosx…(1分)

=sin2x+cos2x=2sin(2x+),…(5分)

所以周期T=π.…(7分)

(Ⅱ)因为0<A<,所以<2A+.…(8分)

由f(A)=0⇔sin(2A+)=0,…(9分)

所以2A+=π,即A=.…(10分)

因为S△ABC=bcsinA=,…(11分)

所以bc=4…(12分)

又因为由余弦定理可得 a2=b2+c2-bc≥bc=4,…(13分)

所以a≥2.…(14分)

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题型:填空题
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填空题

在△ABC中,若∠A=,tan(A+B)=7,AC=3,则△ABC的面积为______.

正确答案

在△ABC中,∵A+B+C=π,∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)

∵tan(A+B)=7,∴tanC=-7,∴=-7

∵sin2C+cos2C=1,C∈(0,π),

∴sinC=

∵∠A=,tan(A+B)=7,∴=7

∴tanB=

∵C∈(0,π),∴sinB=

∴由正弦定理=,代入得到c=7

∴S△ABC=bcsinA=×3×7×sin=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+m(m∈R)的图象过点M(,0).

(1)求m的值;

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosB+bcosC=2acosB,求f(A)的取值范围.

正确答案

(1)∵sinxcosx=sin2x,cos2x=(1+cos2x)

∴f(x)=sinxcosx-cos2x+m=sin2x-(1+cos2x)+m

=sin2x-cos2x-+m=sin(2x-)-+m

∵函数y=fx)图象过点M(,0),

∴sin(2•-)-+m=0,解之得m=

(2)∵ccosB+bcosC=2acosB,

∴结合正弦定理,得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB

∵B+C=π-A,得sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA

∴sinA=2sinAcosB

∵△ABC中,sinA>0,∴cosB=,得B=

由(1),得f(x)=sin(2x-),

所以f(A)=sin(2A-),其中A∈(0,

∵-<2A-

∴sin(2A-)>sin(-)=-,sin(2A-)≤sin=1

因此f(A)的取值范围是(-,1]

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